Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12171 / 20251
↖ ↑ ↗
← S 39.053318°
W 46.285400°		 ← 948.68 m → S 39.053318°
W 46.274414°		 →
↑
948.64 m
↓
↑
948.64 m
↓
S 39.061849°
W 46.285400°		 ← 948.56 m →
899 900 m²		 S 39.061849°
W 46.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371444702148438 y=0.618026733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371444702148438 × 215)
    floor (0.371444702148438 × 32768)
    floor (12171.5)     		tx = 12171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618026733398438 × 215)
    floor (0.618026733398438 × 32768)
    floor (20251.5)     		ty = 20251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12171 / 20251 ti = "15/12171/20251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12171/20251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12171 ÷ 215
    12171 ÷ 32768     		x = 0.371429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20251 ÷ 215
    20251 ÷ 32768     		y = 0.618011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.25714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80783263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.23602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.741487963323029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80783263} λ = -0.80783263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741487963323029))-π/2
    2×atan(0.476404515425381)-π/2
    2×0.44459367101-π/2
    0.88918734202-1.57079632675     		φ = -0.68160898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80783263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.285400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68160898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.053318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12171 KachelY 20251 -0.80783263 -0.68160898 -46.285400 -39.053318
    Oben rechts KachelX + 1 12172 KachelY 20251 -0.80764088 -0.68160898 -46.274414 -39.053318
    Unten links KachelX 12171 KachelY + 1 20252 -0.80783263 -0.68175788 -46.285400 -39.061849
    Unten rechts KachelX + 1 12172 KachelY + 1 20252 -0.80764088 -0.68175788 -46.274414 -39.061849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68160898--0.68175788) × R
    0.000148900000000007 × 6371000     		dl = 948.641900000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68160898--0.68175788) × R
    0.000148900000000007 × 6371000     		dr = 948.641900000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80783263--0.80764088) × cos(-0.68160898) × R
    0.000191750000000046 × 0.776559997291287 × 6371000     		do = 948.676172671158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80783263--0.80764088) × cos(-0.68175788) × R
    0.000191750000000046 × 0.776466175234358 × 6371000     		du = 948.561555963898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68160898)-sin(-0.68175788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776559997291287-0.776466175234358)×R²
    abs(-0.80764088--0.80783263)×9.38220569288717e-05×R²
    0.000191750000000046×9.38220569288717e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.38220569288717e-05×40589641000000     		ar = 899899.603485059m²