Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12170 / 20254
↖ ↑ ↗
← S 39.078908°
W 46.296387°		 ← 948.33 m → S 39.078908°
W 46.285400°		 →
↑
948.26 m
↓
↑
948.26 m
↓
S 39.087436°
W 46.296387°		 ← 948.22 m →
899 211 m²		 S 39.087436°
W 46.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371414184570312 y=0.618118286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371414184570312 × 215)
    floor (0.371414184570312 × 32768)
    floor (12170.5)     		tx = 12170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618118286132812 × 215)
    floor (0.618118286132812 × 32768)
    floor (20254.5)     		ty = 20254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12170 / 20254 ti = "15/12170/20254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12170/20254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12170 ÷ 215
    12170 ÷ 32768     		x = 0.37139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20254 ÷ 215
    20254 ÷ 32768     		y = 0.61810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80802438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.2362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.742063206118469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80802438} λ = -0.80802438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742063206118469))-π/2
    2×atan(0.4761305459672)-π/2
    2×0.444370356216655-π/2
    0.88874071243331-1.57079632675     		φ = -0.68205561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80802438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68205561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.078908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12170 KachelY 20254 -0.80802438 -0.68205561 -46.296387 -39.078908
    Oben rechts KachelX + 1 12171 KachelY 20254 -0.80783263 -0.68205561 -46.285400 -39.078908
    Unten links KachelX 12170 KachelY + 1 20255 -0.80802438 -0.68220445 -46.296387 -39.087436
    Unten rechts KachelX + 1 12171 KachelY + 1 20255 -0.80783263 -0.68220445 -46.285400 -39.087436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68205561--0.68220445) × R
    0.000148839999999928 × 6371000     		dl = 948.259639999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68205561--0.68220445) × R
    0.000148839999999928 × 6371000     		dr = 948.259639999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80802438--0.80783263) × cos(-0.68205561) × R
    0.000191749999999935 × 0.776278523604305 × 6371000     		do = 948.332313366749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80802438--0.80783263) × cos(-0.68220445) × R
    0.000191749999999935 × 0.776184687746463 × 6371000     		du = 948.217679799752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68205561)-sin(-0.68220445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776278523604305-0.776184687746463)×R²
    abs(-0.80783263--0.80802438)×9.38358578417287e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38358578417287e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38358578417287e-05×40589641000000     		ar = 899210.908540708m²