Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12170 / 20250
↖ ↑ ↗
← S 39.044786°
W 46.296387°		 ← 948.79 m → S 39.044786°
W 46.285400°		 →
↑
948.71 m
↓
↑
948.71 m
↓
S 39.053318°
W 46.296387°		 ← 948.68 m →
900 069 m²		 S 39.053318°
W 46.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371414184570312 y=0.617996215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371414184570312 × 215)
    floor (0.371414184570312 × 32768)
    floor (12170.5)     		tx = 12170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617996215820312 × 215)
    floor (0.617996215820312 × 32768)
    floor (20250.5)     		ty = 20250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12170 / 20250 ti = "15/12170/20250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12170/20250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12170 ÷ 215
    12170 ÷ 32768     		x = 0.37139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20250 ÷ 215
    20250 ÷ 32768     		y = 0.61798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80802438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.741296215724548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80802438} λ = -0.80802438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741296215724548))-π/2
    2×atan(0.476495873605695)-π/2
    2×0.444668127264128-π/2
    0.889336254528256-1.57079632675     		φ = -0.68146007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80802438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68146007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.044786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12170 KachelY 20250 -0.80802438 -0.68146007 -46.296387 -39.044786
    Oben rechts KachelX + 1 12171 KachelY 20250 -0.80783263 -0.68146007 -46.285400 -39.044786
    Unten links KachelX 12170 KachelY + 1 20251 -0.80802438 -0.68160898 -46.296387 -39.053318
    Unten rechts KachelX + 1 12171 KachelY + 1 20251 -0.80783263 -0.68160898 -46.285400 -39.053318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68146007--0.68160898) × R
    0.000148910000000058 × 6371000     		dl = 948.705610000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68146007--0.68160898) × R
    0.000148910000000058 × 6371000     		dr = 948.705610000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80802438--0.80783263) × cos(-0.68146007) × R
    0.000191749999999935 × 0.776653808430218 × 6371000     		do = 948.790776040014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80802438--0.80783263) × cos(-0.68160898) × R
    0.000191749999999935 × 0.776559997291287 × 6371000     		du = 948.676172670609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68146007)-sin(-0.68160898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776653808430218-0.776559997291287)×R²
    abs(-0.80783263--0.80802438)×9.38111389308105e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38111389308105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38111389308105e-05×40589641000000     		ar = 900068.771179109m²