Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1217 / 1982
↖ ↑ ↗
← N 67.642677°
W126.518554°		 ← 1 858.73 m → N 67.642677°
W126.474609°		 →
↑
1 859.44 m
↓
↑
1 859.44 m
↓
N 67.625954°
W126.518554°		 ← 1 860.05 m →
3 457 427 m²		 N 67.625954°
W126.474609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14862060546875 y=0.24200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14862060546875 × 213)
    floor (0.14862060546875 × 8192)
    floor (1217.5)     		tx = 1217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24200439453125 × 213)
    floor (0.24200439453125 × 8192)
    floor (1982.5)     		ty = 1982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1217 / 1982 ti = "13/1217/1982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1217/1982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1217 ÷ 213
    1217 ÷ 8192     		x = 0.1485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1982 ÷ 213
    1982 ÷ 8192     		y = 0.241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20816534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241943359375 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20816534} λ = -2.20816534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62141769274878))-π/2
    2×atan(5.06025912644879)-π/2
    2×1.37569187160597-π/2
    2.75138374321194-1.57079632675     		φ = 1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20816534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.518554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1217 KachelY 1982 -2.20816534 1.18058742 -126.518554 67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 1218 KachelY 1982 -2.20739835 1.18058742 -126.474609 67.642677
    Unten links KachelX 1217 KachelY + 1 1983 -2.20816534 1.18029556 -126.518554 67.625954
    Unten rechts KachelX + 1 1218 KachelY + 1 1983 -2.20739835 1.18029556 -126.474609 67.625954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18058742-1.18029556) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dl = 1859.4400599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18058742-1.18029556) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dr = 1859.4400599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20816534--2.20739835) × cos(1.18058742) × R
    0.000766989999999801 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 1858.73226608284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20816534--2.20739835) × cos(1.18029556) × R
    0.000766989999999801 × 0.380651531179853 × 6371000     		du = 1860.0511529381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18058742)-sin(1.18029556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.380651531179853)×R²
    abs(-2.20739835--2.20816534)×0.000269904566932322×R²
    0.000766989999999801×0.000269904566932322×6371000²
    0.000766989999999801×0.000269904566932322×40589641000000     		ar = 3457427.45643765m²