Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12168 / 20296
↖ ↑ ↗
← S 39.436193°
W 46.318360°		 ← 943.51 m → S 39.436193°
W 46.307373°		 →
↑
943.48 m
↓
↑
943.48 m
↓
S 39.444678°
W 46.318360°		 ← 943.40 m →
890 131 m²		 S 39.444678°
W 46.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371353149414062 y=0.619400024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371353149414062 × 215)
    floor (0.371353149414062 × 32768)
    floor (12168.5)     		tx = 12168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619400024414062 × 215)
    floor (0.619400024414062 × 32768)
    floor (20296.5)     		ty = 20296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12168 / 20296 ti = "15/12168/20296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12168/20296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12168 ÷ 215
    12168 ÷ 32768     		x = 0.371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20296 ÷ 215
    20296 ÷ 32768     		y = 0.619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80840788} λ = -0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750116605254639))-π/2
    2×atan(0.472311475530058)-π/2
    2×0.441252457260743-π/2
    0.882504914521487-1.57079632675     		φ = -0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12168 KachelY 20296 -0.80840788 -0.68829141 -46.318360 -39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 12169 KachelY 20296 -0.80821613 -0.68829141 -46.307373 -39.436193
    Unten links KachelX 12168 KachelY + 1 20297 -0.80840788 -0.68843950 -46.318360 -39.444678
    Unten rechts KachelX + 1 12169 KachelY + 1 20297 -0.80821613 -0.68843950 -46.307373 -39.444678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68829141--0.68843950) × R
    0.000148089999999934 × 6371000     		dl = 943.48138999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68829141--0.68843950) × R
    0.000148089999999934 × 6371000     		dr = 943.48138999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80840788--0.80821613) × cos(-0.68829141) × R
    0.000191749999999935 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 943.511659145735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80840788--0.80821613) × cos(-0.68843950) × R
    0.000191749999999935 × 0.772238391813188 × 6371000     		du = 943.396729795549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68829141)-sin(-0.68843950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.772238391813188)×R²
    abs(-0.80821613--0.80840788)×9.40779777547363e-05×R²
    0.000191749999999935×9.40779777547363e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.40779777547363e-05×40589641000000     		ar = 890131.476426952m²