Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121673 / 27467
↖ ↑ ↗
← N 71.681800°
E154.184875°		 ← 95.99 m → N 71.681800°
E154.187622°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.680936°
E154.184875°		 ← 96 m →
9 217 m²		 N 71.680936°
E154.187622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928295135498047 y=0.209560394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928295135498047 × 217)
    floor (0.928295135498047 × 131072)
    floor (121673.5)     		tx = 121673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209560394287109 × 217)
    floor (0.209560394287109 × 131072)
    floor (27467.5)     		ty = 27467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121673 / 27467 ti = "17/121673/27467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121673/27467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121673 ÷ 217
    121673 ÷ 131072     		x = 0.928291320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27467 ÷ 217
    27467 ÷ 131072     		y = 0.209556579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.928291320800781 × 2 - 1) × π
    0.856582641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.69103373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209556579589844 × 2 - 1) × π
    0.580886840820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.82490983163592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69103373} λ = 2.69103373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82490983163592))-π/2
    2×atan(6.20223574843989)-π/2
    2×1.41093987105387-π/2
    2.82187974210774-1.57079632675     		φ = 1.25108342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69103373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.184875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25108342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.681800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121673 KachelY 27467 2.69103373 1.25108342 154.184875 71.681800
    Oben rechts KachelX + 1 121674 KachelY 27467 2.69108167 1.25108342 154.187622 71.681800
    Unten links KachelX 121673 KachelY + 1 27468 2.69103373 1.25106835 154.184875 71.680936
    Unten rechts KachelX + 1 121674 KachelY + 1 27468 2.69108167 1.25106835 154.187622 71.680936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25108342-1.25106835) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dl = 96.010970000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25108342-1.25106835) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dr = 96.010970000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69103373-2.69108167) × cos(1.25108342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314294028617604 × 6371000     		do = 95.9934862680499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69103373-2.69108167) × cos(1.25106835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314308334920046 × 6371000     		du = 95.99785578106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25108342)-sin(1.25106835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314294028617604-0.314308334920046)×R²
    abs(2.69108167-2.69103373)×1.43063024422019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43063024422019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43063024422019e-05×40589641000000     		ar = 9216.63749112786m²