Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121672 / 27468
↖ ↑ ↗
← N 71.680936°
E154.182129°		 ← 95.98 m → N 71.680936°
E154.184875°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.680073°
E154.182129°		 ← 95.98 m →
9 215 m²		 N 71.680073°
E154.184875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928287506103516 y=0.209568023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928287506103516 × 217)
    floor (0.928287506103516 × 131072)
    floor (121672.5)     		tx = 121672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209568023681641 × 217)
    floor (0.209568023681641 × 131072)
    floor (27468.5)     		ty = 27468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121672 / 27468 ti = "17/121672/27468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121672/27468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121672 ÷ 217
    121672 ÷ 131072     		x = 0.92828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27468 ÷ 217
    27468 ÷ 131072     		y = 0.209564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92828369140625 × 2 - 1) × π
    0.8565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.69098580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209564208984375 × 2 - 1) × π
    0.58087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8248618947363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69098580} λ = 2.69098580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8248618947363))-π/2
    2×atan(6.20193843961349)-π/2
    2×1.4109323377417-π/2
    2.82186467548341-1.57079632675     		φ = 1.25106835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69098580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.182129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25106835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.680936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121672 KachelY 27468 2.69098580 1.25106835 154.182129 71.680936
    Oben rechts KachelX + 1 121673 KachelY 27468 2.69103373 1.25106835 154.184875 71.680936
    Unten links KachelX 121672 KachelY + 1 27469 2.69098580 1.25105328 154.182129 71.680073
    Unten rechts KachelX + 1 121673 KachelY + 1 27469 2.69103373 1.25105328 154.184875 71.680073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25106835-1.25105328) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25106835-1.25105328) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69098580-2.69103373) × cos(1.25106835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314308334920046 × 6371000     		do = 95.9778311971639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69098580-2.69103373) × cos(1.25105328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.314322641151107 × 6371000     		du = 95.9821997769224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25106835)-sin(1.25105328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314308334920046-0.314322641151107)×R²
    abs(2.69103373-2.69098580)×1.43062310610231e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43062310610231e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43062310610231e-05×40589641000000     		ar = 9215.13438755085m²