Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12167 / 20248
↖ ↑ ↗
← S 39.027719°
W 46.329346°		 ← 948.97 m → S 39.027719°
W 46.318360°		 →
↑
948.96 m
↓
↑
948.96 m
↓
S 39.036253°
W 46.329346°		 ← 948.86 m →
900 481 m²		 S 39.036253°
W 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371322631835938 y=0.617935180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371322631835938 × 215)
    floor (0.371322631835938 × 32768)
    floor (12167.5)     		tx = 12167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617935180664062 × 215)
    floor (0.617935180664062 × 32768)
    floor (20248.5)     		ty = 20248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12167 / 20248 ti = "15/12167/20248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12167/20248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12167 ÷ 215
    12167 ÷ 32768     		x = 0.371307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20248 ÷ 215
    20248 ÷ 32768     		y = 0.617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80859962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80859962} λ = -0.80859962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740912720527588))-π/2
    2×atan(0.476678642527856)-π/2
    2×0.444817066753516-π/2
    0.889634133507032-1.57079632675     		φ = -0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80859962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.329346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12167 KachelY 20248 -0.80859962 -0.68116219 -46.329346 -39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 12168 KachelY 20248 -0.80840788 -0.68116219 -46.318360 -39.027719
    Unten links KachelX 12167 KachelY + 1 20249 -0.80859962 -0.68131114 -46.329346 -39.036253
    Unten rechts KachelX + 1 12168 KachelY + 1 20249 -0.80840788 -0.68131114 -46.318360 -39.036253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68116219--0.68131114) × R
    0.000148950000000037 × 6371000     		dl = 948.960450000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68116219--0.68131114) × R
    0.000148950000000037 × 6371000     		dr = 948.960450000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80859962--0.80840788) × cos(-0.68116219) × R
    0.000191739999999996 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 948.970473249626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80859962--0.80840788) × cos(-0.68131114) × R
    0.000191739999999996 × 0.776747614943721 × 6371000     		du = 948.855887168568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68116219)-sin(-0.68131114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776747614943721)×R²
    abs(-0.80840788--0.80859962)×9.38018790543893e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38018790543893e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38018790543893e-05×40589641000000     		ar = 900481.080166491m²