Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12165 / 20470
↖ ↑ ↗
← S 40.896906°
W 46.351318°		 ← 923.42 m → S 40.896906°
W 46.340332°		 →
↑
923.35 m
↓
↑
923.35 m
↓
S 40.905210°
W 46.351318°		 ← 923.31 m →
852 589 m²		 S 40.905210°
W 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371261596679688 y=0.624710083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371261596679688 × 215)
    floor (0.371261596679688 × 32768)
    floor (12165.5)     		tx = 12165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624710083007812 × 215)
    floor (0.624710083007812 × 32768)
    floor (20470.5)     		ty = 20470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12165 / 20470 ti = "15/12165/20470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12165/20470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12165 ÷ 215
    12165 ÷ 32768     		x = 0.371246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20470 ÷ 215
    20470 ÷ 32768     		y = 0.62469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80898312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.783480687390198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80898312} λ = -0.80898312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783480687390198))-π/2
    2×atan(0.456813216899866)-π/2
    2×0.42850533357259-π/2
    0.85701066714518-1.57079632675     		φ = -0.71378566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80898312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.351318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71378566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.896906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12165 KachelY 20470 -0.80898312 -0.71378566 -46.351318 -40.896906
    Oben rechts KachelX + 1 12166 KachelY 20470 -0.80879137 -0.71378566 -46.340332 -40.896906
    Unten links KachelX 12165 KachelY + 1 20471 -0.80898312 -0.71393059 -46.351318 -40.905210
    Unten rechts KachelX + 1 12166 KachelY + 1 20471 -0.80879137 -0.71393059 -46.340332 -40.905210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71378566--0.71393059) × R
    0.000144930000000043 × 6371000     		dl = 923.349030000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71378566--0.71393059) × R
    0.000144930000000043 × 6371000     		dr = 923.349030000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80898312--0.80879137) × cos(-0.71378566) × R
    0.000191750000000046 × 0.75588882673133 × 6371000     		do = 923.423459371664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80898312--0.80879137) × cos(-0.71393059) × R
    0.000191750000000046 × 0.755793933122978 × 6371000     		du = 923.307533615127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71378566)-sin(-0.71393059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75588882673133-0.755793933122978)×R²
    abs(-0.80879137--0.80898312)×9.48936083514651e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48936083514651e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48936083514651e-05×40589641000000     		ar = 852588.637014546m²