Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12163 / 20402
↖ ↑ ↗
← S 40.329796°
W 46.373291°		 ← 931.25 m → S 40.329796°
W 46.362305°		 →
↑
931.25 m
↓
↑
931.25 m
↓
S 40.338171°
W 46.373291°		 ← 931.13 m →
867 168 m²		 S 40.338171°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371200561523438 y=0.622634887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371200561523438 × 215)
    floor (0.371200561523438 × 32768)
    floor (12163.5)     		tx = 12163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622634887695312 × 215)
    floor (0.622634887695312 × 32768)
    floor (20402.5)     		ty = 20402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12163 / 20402 ti = "15/12163/20402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12163/20402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12163 ÷ 215
    12163 ÷ 32768     		x = 0.371185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20402 ÷ 215
    20402 ÷ 32768     		y = 0.62261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.25762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80936661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770441850693543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80936661} λ = -0.80936661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770441850693543))-π/2
    2×atan(0.462808530856711)-π/2
    2×0.433454302213644-π/2
    0.866908604427288-1.57079632675     		φ = -0.70388772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80936661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.373291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70388772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.329796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12163 KachelY 20402 -0.80936661 -0.70388772 -46.373291 -40.329796
    Oben rechts KachelX + 1 12164 KachelY 20402 -0.80917487 -0.70388772 -46.362305 -40.329796
    Unten links KachelX 12163 KachelY + 1 20403 -0.80936661 -0.70403389 -46.373291 -40.338171
    Unten rechts KachelX + 1 12164 KachelY + 1 20403 -0.80917487 -0.70403389 -46.362305 -40.338171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70388772--0.70403389) × R
    0.000146170000000057 × 6371000     		dl = 931.24907000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70388772--0.70403389) × R
    0.000146170000000057 × 6371000     		dr = 931.24907000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80936661--0.80917487) × cos(-0.70388772) × R
    0.000191739999999996 × 0.76233187556114 × 6371000     		do = 931.245972547792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80936661--0.80917487) × cos(-0.70403389) × R
    0.000191739999999996 × 0.762237268195621 × 6371000     		du = 931.130402504171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70388772)-sin(-0.70403389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76233187556114-0.762237268195621)×R²
    abs(-0.80917487--0.80936661)×9.46073655183621e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46073655183621e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46073655183621e-05×40589641000000     		ar = 867168.135173177m²