Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1216 / 320
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
W 73.125000°		 ← 1 373.12 m → N 81.923187°
W 73.037109°		 →
↑
1 374.16 m
↓
↑
1 374.16 m
↓
N 81.910828°
W 73.125000°		 ← 1 375.21 m →
1 888 321 m²		 N 81.910828°
W 73.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2969970703125 y=0.0782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2969970703125 × 212)
    floor (0.2969970703125 × 4096)
    floor (1216.5)     		tx = 1216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0782470703125 × 212)
    floor (0.0782470703125 × 4096)
    floor (320.5)     		ty = 320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1216 / 320 ti = "12/1216/320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1216/320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1216 ÷ 212
    1216 ÷ 4096     		x = 0.296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 320 ÷ 212
    320 ÷ 4096     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.296875 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Λ = -1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.27627202} λ = -1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1216 KachelY 320 -1.27627202 1.42982934 -73.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 1217 KachelY 320 -1.27473803 1.42982934 -73.037109 81.923187
    Unten links KachelX 1216 KachelY + 1 321 -1.27627202 1.42961365 -73.125000 81.910828
    Unten rechts KachelX + 1 1217 KachelY + 1 321 -1.27473803 1.42961365 -73.037109 81.910828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42961365) × R
    0.00021568999999988 × 6371000     		dl = 1374.16098999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42961365) × R
    0.00021568999999988 × 6371000     		dr = 1374.16098999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.27627202--1.27473803) × cos(1.42982934) × R
    0.00153398999999999 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 1373.11918570449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.27627202--1.27473803) × cos(1.42961365) × R
    0.00153398999999999 × 0.140714122260715 × 6371000     		du = 1375.20619336717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42961365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140714122260715)×R²
    abs(-1.27473803--1.27627202)×0.000213547214099052×R²
    0.00153398999999999×0.000213547214099052×6371000²
    0.00153398999999999×0.000213547214099052×40589641000000     		ar = 1888320.76919354m²