Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12158 / 20400
↖ ↑ ↗
← S 40.313043°
W 46.428223°		 ← 931.53 m → S 40.313043°
W 46.417236°		 →
↑
931.44 m
↓
↑
931.44 m
↓
S 40.321420°
W 46.428223°		 ← 931.41 m →
867 607 m²		 S 40.321420°
W 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371047973632812 y=0.622573852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371047973632812 × 215)
    floor (0.371047973632812 × 32768)
    floor (12158.5)     		tx = 12158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622573852539062 × 215)
    floor (0.622573852539062 × 32768)
    floor (20400.5)     		ty = 20400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12158 / 20400 ti = "15/12158/20400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12158/20400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12158 ÷ 215
    12158 ÷ 32768     		x = 0.37103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20400 ÷ 215
    20400 ÷ 32768     		y = 0.62255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.770058355496582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81032535} λ = -0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770058355496582))-π/2
    2×atan(0.462986049742051)-π/2
    2×0.433600495658984-π/2
    0.867200991317968-1.57079632675     		φ = -0.70359534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70359534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.313043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12158 KachelY 20400 -0.81032535 -0.70359534 -46.428223 -40.313043
    Oben rechts KachelX + 1 12159 KachelY 20400 -0.81013360 -0.70359534 -46.417236 -40.313043
    Unten links KachelX 12158 KachelY + 1 20401 -0.81032535 -0.70374154 -46.428223 -40.321420
    Unten rechts KachelX + 1 12159 KachelY + 1 20401 -0.81013360 -0.70374154 -46.417236 -40.321420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70359534--0.70374154) × R
    0.000146199999999985 × 6371000     		dl = 931.440199999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70359534--0.70374154) × R
    0.000146199999999985 × 6371000     		dr = 931.440199999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81032535--0.81013360) × cos(-0.70359534) × R
    0.000191750000000046 × 0.7625210673055 × 6371000     		do = 931.525664772514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81032535--0.81013360) × cos(-0.70374154) × R
    0.000191750000000046 × 0.762426473109676 × 6371000     		du = 931.410104790074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70359534)-sin(-0.70374154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7625210673055-0.762426473109676)×R²
    abs(-0.81013360--0.81032535)×9.4594195823916e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4594195823916e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4594195823916e-05×40589641000000     		ar = 867606.634439384m²