Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12157 / 12732
↖ ↑ ↗
← S 70.110485°
E 87.121582°		 ← 831.20 m → S 70.110485°
E 87.143555°		 →
↑
831.03 m
↓
↑
831.03 m
↓
S 70.117958°
E 87.121582°		 ← 830.90 m →
690 630 m²		 S 70.117958°
E 87.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742034912109375 y=0.777130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742034912109375 × 214)
    floor (0.742034912109375 × 16384)
    floor (12157.5)     		tx = 12157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777130126953125 × 214)
    floor (0.777130126953125 × 16384)
    floor (12732.5)     		ty = 12732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12157 / 12732 ti = "14/12157/12732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12157/12732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12157 ÷ 214
    12157 ÷ 16384     		x = 0.74200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12732 ÷ 214
    12732 ÷ 16384     		y = 0.777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74200439453125 × 2 - 1) × π
    0.4840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52055846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.55419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74106819420044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52055846} λ = 1.52055846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74106819420044))-π/2
    2×atan(0.175333010845151)-π/2
    2×0.173568763606483-π/2
    0.347137527212967-1.57079632675     		φ = -1.22365880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52055846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.121582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22365880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.110485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12157 KachelY 12732 1.52055846 -1.22365880 87.121582 -70.110485
    Oben rechts KachelX + 1 12158 KachelY 12732 1.52094195 -1.22365880 87.143555 -70.110485
    Unten links KachelX 12157 KachelY + 1 12733 1.52055846 -1.22378924 87.121582 -70.117958
    Unten rechts KachelX + 1 12158 KachelY + 1 12733 1.52094195 -1.22378924 87.143555 -70.117958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22365880--1.22378924) × R
    0.000130439999999954 × 6371000     		dl = 831.033239999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22365880--1.22378924) × R
    0.000130439999999954 × 6371000     		dr = 831.033239999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52055846-1.52094195) × cos(-1.22365880) × R
    0.000383490000000153 × 0.340207477098405 × 6371000     		do = 831.199939715741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52055846-1.52094195) × cos(-1.22378924) × R
    0.000383490000000153 × 0.340084814898487 × 6371000     		du = 830.900249614727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22365880)-sin(-1.22378924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340207477098405-0.340084814898487)×R²
    abs(1.52094195-1.52055846)×0.0001226621999178×R²
    0.000383490000000153×0.0001226621999178×6371000²
    0.000383490000000153×0.0001226621999178×40589641000000     		ar = 690630.25375037m²