Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12154 / 12731
↖ ↑ ↗
← S 70.103008°
E 87.055664°		 ← 831.52 m → S 70.103008°
E 87.077637°		 →
↑
831.35 m
↓
↑
831.35 m
↓
S 70.110485°
E 87.055664°		 ← 831.22 m →
691 162 m²		 S 70.110485°
E 87.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741851806640625 y=0.777069091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741851806640625 × 214)
    floor (0.741851806640625 × 16384)
    floor (12154.5)     		tx = 12154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777069091796875 × 214)
    floor (0.777069091796875 × 16384)
    floor (12731.5)     		ty = 12731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12154 / 12731 ti = "14/12154/12731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12154/12731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12154 ÷ 214
    12154 ÷ 16384     		x = 0.7418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12731 ÷ 214
    12731 ÷ 16384     		y = 0.77703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7418212890625 × 2 - 1) × π
    0.483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51940797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.5540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74068469900348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51940797} λ = 1.51940797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74068469900348))-π/2
    2×atan(0.175400263107314)-π/2
    2×0.173634009336838-π/2
    0.347268018673677-1.57079632675     		φ = -1.22352831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51940797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22352831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.103008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12154 KachelY 12731 1.51940797 -1.22352831 87.055664 -70.103008
    Oben rechts KachelX + 1 12155 KachelY 12731 1.51979147 -1.22352831 87.077637 -70.103008
    Unten links KachelX 12154 KachelY + 1 12732 1.51940797 -1.22365880 87.055664 -70.110485
    Unten rechts KachelX + 1 12155 KachelY + 1 12732 1.51979147 -1.22365880 87.077637 -70.110485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22352831--1.22365880) × R
    0.000130489999999872 × 6371000     		dl = 831.351789999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22352831--1.22365880) × R
    0.000130489999999872 × 6371000     		dr = 831.351789999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51940797-1.51979147) × cos(-1.22352831) × R
    0.00038349999999987 × 0.340330180525131 × 6371000     		do = 831.52141297789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51940797-1.51979147) × cos(-1.22365880) × R
    0.00038349999999987 × 0.340207477098405 × 6371000     		du = 831.221614333494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22352831)-sin(-1.22365880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340330180525131-0.340207477098405)×R²
    abs(1.51979147-1.51940797)×0.000122703426726045×R²
    0.00038349999999987×0.000122703426726045×6371000²
    0.00038349999999987×0.000122703426726045×40589641000000     		ar = 691162.197013808m²