Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1215 / 890
↖ ↑ ↗
← N 22.917923°
E 33.574219°		 ← 18.003 km → N 22.917923°
E 33.750000°		 →
↑
18.014 km
↓
↑
18.014 km
↓
N 22.755921°
E 33.574219°		 ← 18.025 km →
324.498 km²		 N 22.755921°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593505859375 y=0.434814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593505859375 × 211)
    floor (0.593505859375 × 2048)
    floor (1215.5)     		tx = 1215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434814453125 × 211)
    floor (0.434814453125 × 2048)
    floor (890.5)     		ty = 890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1215 / 890 ti = "11/1215/890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1215/890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1215 ÷ 211
    1215 ÷ 2048     		x = 0.59326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 890 ÷ 211
    890 ÷ 2048     		y = 0.4345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.411106851141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58598066} λ = 0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411106851141602))-π/2
    2×atan(1.50848653145502)-π/2
    2×0.985394769869074-π/2
    1.97078953973815-1.57079632675     		φ = 0.39999321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39999321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.917923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1215 KachelY 890 0.58598066 0.39999321 33.574219 22.917923
    Oben rechts KachelX + 1 1216 KachelY 890 0.58904862 0.39999321 33.750000 22.917923
    Unten links KachelX 1215 KachelY + 1 891 0.58598066 0.39716574 33.574219 22.755921
    Unten rechts KachelX + 1 1216 KachelY + 1 891 0.58904862 0.39716574 33.750000 22.755921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39999321-0.39716574) × R
    0.00282747 × 6371000     		dl = 18013.81137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39999321-0.39716574) × R
    0.00282747 × 6371000     		dr = 18013.81137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58598066-0.58904862) × cos(0.39999321) × R
    0.00306795999999998 × 0.921063638132197 × 6371000     		do = 18003.0851495838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58598066-0.58904862) × cos(0.39716574) × R
    0.00306795999999998 × 0.922161005903359 × 6371000     		du = 18024.5342705855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39999321)-sin(0.39716574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921063638132197-0.922161005903359)×R²
    abs(0.58904862-0.58598066)×0.00109736777116176×R²
    0.00306795999999998×0.00109736777116176×6371000²
    0.00306795999999998×0.00109736777116176×40589641000000     		ar = 324497586.35791m²