Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12148 / 12684
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E 86.923828°		 ← 845.70 m → S 69.748551°
E 86.945801°		 →
↑
845.56 m
↓
↑
845.56 m
↓
S 69.756156°
E 86.923828°		 ← 845.39 m →
714 958 m²		 S 69.756156°
E 86.945801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741485595703125 y=0.774200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741485595703125 × 214)
    floor (0.741485595703125 × 16384)
    floor (12148.5)     		tx = 12148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774200439453125 × 214)
    floor (0.774200439453125 × 16384)
    floor (12684.5)     		ty = 12684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12148 / 12684 ti = "14/12148/12684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12148/12684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12148 ÷ 214
    12148 ÷ 16384     		x = 0.741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12684 ÷ 214
    12684 ÷ 16384     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741455078125 × 2 - 1) × π
    0.48291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.51710700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51710700} λ = 1.51710700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51710700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12148 KachelY 12684 1.51710700 -1.21734187 86.923828 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 12149 KachelY 12684 1.51749049 -1.21734187 86.945801 -69.748551
    Unten links KachelX 12148 KachelY + 1 12685 1.51710700 -1.21747459 86.923828 -69.756156
    Unten rechts KachelX + 1 12149 KachelY + 1 12685 1.51749049 -1.21747459 86.945801 -69.756156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21747459) × R
    0.000132719999999864 × 6371000     		dl = 845.559119999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21747459) × R
    0.000132719999999864 × 6371000     		dr = 845.559119999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51710700-1.51749049) × cos(-1.21734187) × R
    0.000383489999999931 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 845.696267029519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51710700-1.51749049) × cos(-1.21747459) × R
    0.000383489999999931 × 0.346016258867176 × 6371000     		du = 845.392041244601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21747459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346016258867176)×R²
    abs(1.51749049-1.51710700)×0.000124518640834848×R²
    0.000383489999999931×0.000124518640834848×6371000²
    0.000383489999999931×0.000124518640834848×40589641000000     		ar = 714957.571941316m²