Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121474 / 27522
↖ ↑ ↗
← N 71.634262°
E153.638306°		 ← 96.23 m → N 71.634262°
E153.641052°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 71.633397°
E153.638306°		 ← 96.24 m →
9 258 m²		 N 71.633397°
E153.641052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926776885986328 y=0.209980010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926776885986328 × 217)
    floor (0.926776885986328 × 131072)
    floor (121474.5)     		tx = 121474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209980010986328 × 217)
    floor (0.209980010986328 × 131072)
    floor (27522.5)     		ty = 27522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121474 / 27522 ti = "17/121474/27522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121474/27522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121474 ÷ 217
    121474 ÷ 131072     		x = 0.926773071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27522 ÷ 217
    27522 ÷ 131072     		y = 0.209976196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.926773071289062 × 2 - 1) × π
    0.853546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.68149429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209976196289062 × 2 - 1) × π
    0.580047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82227330215681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.68149429} λ = 2.68149429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82227330215681))-π/2
    2×atan(6.18590490888277)-π/2
    2×1.41052502941752-π/2
    2.82105005883504-1.57079632675     		φ = 1.25025373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.68149429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.638306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25025373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.634262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121474 KachelY 27522 2.68149429 1.25025373 153.638306 71.634262
    Oben rechts KachelX + 1 121475 KachelY 27522 2.68154223 1.25025373 153.641052 71.634262
    Unten links KachelX 121474 KachelY + 1 27523 2.68149429 1.25023863 153.638306 71.633397
    Unten rechts KachelX + 1 121475 KachelY + 1 27523 2.68154223 1.25023863 153.641052 71.633397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25025373-1.25023863) × R
    1.51000000001567e-05 × 6371000     		dl = 96.202100000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25025373-1.25023863) × R
    1.51000000001567e-05 × 6371000     		dr = 96.202100000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.68149429-2.68154223) × cos(1.25025373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.315081566380328 × 6371000     		do = 96.2340205720076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.68149429-2.68154223) × cos(1.25023863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.315095897219799 × 6371000     		du = 96.238397579258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25025373)-sin(1.25023863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315081566380328-0.315095897219799)×R²
    abs(2.68154223-2.68149429)×1.43308394715547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43308394715547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43308394715547e-05×40589641000000     		ar = 9258.12540938996m²