Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12145 / 20273
↖ ↑ ↗
← S 39.240763°
W 46.571045°		 ← 946.15 m → S 39.240763°
W 46.560058°		 →
↑
946.09 m
↓
↑
946.09 m
↓
S 39.249271°
W 46.571045°		 ← 946.04 m →
895 095 m²		 S 39.249271°
W 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370651245117188 y=0.618698120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370651245117188 × 215)
    floor (0.370651245117188 × 32768)
    floor (12145.5)     		tx = 12145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618698120117188 × 215)
    floor (0.618698120117188 × 32768)
    floor (20273.5)     		ty = 20273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12145 / 20273 ti = "15/12145/20273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12145/20273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12145 ÷ 215
    12145 ÷ 32768     		x = 0.370635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20273 ÷ 215
    20273 ÷ 32768     		y = 0.618682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.23736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745706410489594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81281807} λ = -0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745706410489594))-π/2
    2×atan(0.474399061072732)-π/2
    2×0.442957910009261-π/2
    0.885915820018521-1.57079632675     		φ = -0.68488051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68488051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.240763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12145 KachelY 20273 -0.81281807 -0.68488051 -46.571045 -39.240763
    Oben rechts KachelX + 1 12146 KachelY 20273 -0.81262632 -0.68488051 -46.560058 -39.240763
    Unten links KachelX 12145 KachelY + 1 20274 -0.81281807 -0.68502901 -46.571045 -39.249271
    Unten rechts KachelX + 1 12146 KachelY + 1 20274 -0.81262632 -0.68502901 -46.560058 -39.249271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68488051--0.68502901) × R
    0.000148499999999996 × 6371000     		dl = 946.093499999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68488051--0.68502901) × R
    0.000148499999999996 × 6371000     		dr = 946.093499999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81281807--0.81262632) × cos(-0.68488051) × R
    0.000191749999999935 × 0.774494639661382 × 6371000     		do = 946.15305072463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81281807--0.81262632) × cos(-0.68502901) × R
    0.000191749999999935 × 0.774400692922009 × 6371000     		du = 946.038281700403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68488051)-sin(-0.68502901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774494639661382-0.774400692922009)×R²
    abs(-0.81262632--0.81281807)×9.39467393721305e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39467393721305e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39467393721305e-05×40589641000000     		ar = 895094.961826391m²