Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12142 / 12713
↖ ↑ ↗
← S 69.967967°
E 86.791992°		 ← 836.91 m → S 69.967967°
E 86.813965°		 →
↑
836.77 m
↓
↑
836.77 m
↓
S 69.975493°
E 86.791992°		 ← 836.61 m →
700 174 m²		 S 69.975493°
E 86.813965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741119384765625 y=0.775970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741119384765625 × 214)
    floor (0.741119384765625 × 16384)
    floor (12142.5)     		tx = 12142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775970458984375 × 214)
    floor (0.775970458984375 × 16384)
    floor (12713.5)     		ty = 12713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12142 / 12713 ti = "14/12142/12713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12142/12713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12142 ÷ 214
    12142 ÷ 16384     		x = 0.7410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12713 ÷ 214
    12713 ÷ 16384     		y = 0.77593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7410888671875 × 2 - 1) × π
    0.482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51480603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.5518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73378178545819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51480603} λ = 1.51480603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73378178545819))-π/2
    2×atan(0.17661522452174)-π/2
    2×0.174812463611776-π/2
    0.349624927223552-1.57079632675     		φ = -1.22117140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51480603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22117140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.967967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12142 KachelY 12713 1.51480603 -1.22117140 86.791992 -69.967967
    Oben rechts KachelX + 1 12143 KachelY 12713 1.51518952 -1.22117140 86.813965 -69.967967
    Unten links KachelX 12142 KachelY + 1 12714 1.51480603 -1.22130274 86.791992 -69.975493
    Unten rechts KachelX + 1 12143 KachelY + 1 12714 1.51518952 -1.22130274 86.813965 -69.975493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22117140--1.22130274) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dl = 836.767140000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22117140--1.22130274) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dr = 836.767140000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51480603-1.51518952) × cos(-1.22117140) × R
    0.000383490000000153 × 0.342545449810102 × 6371000     		do = 836.912109223578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51480603-1.51518952) × cos(-1.22130274) × R
    0.000383490000000153 × 0.342422052760671 × 6371000     		du = 836.610623727365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22117140)-sin(-1.22130274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342545449810102-0.342422052760671)×R²
    abs(1.51518952-1.51480603)×0.00012339704943104×R²
    0.000383490000000153×0.00012339704943104×6371000²
    0.000383490000000153×0.00012339704943104×40589641000000     		ar = 700174.416494407m²