Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12141 / 20277
↖ ↑ ↗
← S 39.274790°
W 46.614990°		 ← 945.69 m → S 39.274790°
W 46.604004°		 →
↑
945.65 m
↓
↑
945.65 m
↓
S 39.283294°
W 46.614990°		 ← 945.58 m →
894 239 m²		 S 39.283294°
W 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370529174804688 y=0.618820190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370529174804688 × 215)
    floor (0.370529174804688 × 32768)
    floor (12141.5)     		tx = 12141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618820190429688 × 215)
    floor (0.618820190429688 × 32768)
    floor (20277.5)     		ty = 20277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12141 / 20277 ti = "15/12141/20277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12141/20277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12141 ÷ 215
    12141 ÷ 32768     		x = 0.370513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20277 ÷ 215
    20277 ÷ 32768     		y = 0.618804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.25897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81358506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.23760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746473400883514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81358506} λ = -0.81358506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746473400883514))-π/2
    2×atan(0.474035341052715)-π/2
    2×0.442660967093232-π/2
    0.885321934186464-1.57079632675     		φ = -0.68547439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81358506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68547439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.274790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12141 KachelY 20277 -0.81358506 -0.68547439 -46.614990 -39.274790
    Oben rechts KachelX + 1 12142 KachelY 20277 -0.81339331 -0.68547439 -46.604004 -39.274790
    Unten links KachelX 12141 KachelY + 1 20278 -0.81358506 -0.68562282 -46.614990 -39.283294
    Unten rechts KachelX + 1 12142 KachelY + 1 20278 -0.81339331 -0.68562282 -46.604004 -39.283294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68547439--0.68562282) × R
    0.000148429999999977 × 6371000     		dl = 945.647529999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68547439--0.68562282) × R
    0.000148429999999977 × 6371000     		dr = 945.647529999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81358506--0.81339331) × cos(-0.68547439) × R
    0.000191749999999935 × 0.77411882621336 × 6371000     		do = 945.693942265849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81358506--0.81339331) × cos(-0.68562282) × R
    0.000191749999999935 × 0.774024855511972 × 6371000     		du = 945.579143968683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68547439)-sin(-0.68562282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77411882621336-0.774024855511972)×R²
    abs(-0.81339331--0.81358506)×9.39707013878355e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39707013878355e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39707013878355e-05×40589641000000     		ar = 894238.862918914m²