Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1214 / 894
↖ ↑ ↗
← N 22.268764°
E 33.398438°		 ← 18.088 km → N 22.268764°
E 33.574219°		 →
↑
18.099 km
↓
↑
18.099 km
↓
N 22.105999°
E 33.398438°		 ← 18.109 km →
327.562 km²		 N 22.105999°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593017578125 y=0.436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593017578125 × 211)
    floor (0.593017578125 × 2048)
    floor (1214.5)     		tx = 1214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436767578125 × 211)
    floor (0.436767578125 × 2048)
    floor (894.5)     		ty = 894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1214 / 894 ti = "11/1214/894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1214/894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1214 ÷ 211
    1214 ÷ 2048     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 894 ÷ 211
    894 ÷ 2048     		y = 0.4365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398835004838867))-π/2
    2×atan(1.49008774105672)-π/2
    2×0.97972978980795-π/2
    1.9594595796159-1.57079632675     		φ = 0.38866325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38866325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.268764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1214 KachelY 894 0.58291270 0.38866325 33.398438 22.268764
    Oben rechts KachelX + 1 1215 KachelY 894 0.58598066 0.38866325 33.574219 22.268764
    Unten links KachelX 1214 KachelY + 1 895 0.58291270 0.38582246 33.398438 22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 1215 KachelY + 1 895 0.58598066 0.38582246 33.574219 22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38866325-0.38582246) × R
    0.00284079000000004 × 6371000     		dl = 18098.6730900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38866325-0.38582246) × R
    0.00284079000000004 × 6371000     		dr = 18098.6730900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58598066) × cos(0.38866325) × R
    0.00306796000000009 × 0.925416450209737 × 6371000     		do = 18088.1650976225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58598066) × cos(0.38582246) × R
    0.00306796000000009 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 18109.1337570554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38866325)-sin(0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925416450209737-0.926489236878441)×R²
    abs(0.58598066-0.58291270)×0.00107278666870447×R²
    0.00306796000000009×0.00107278666870447×6371000²
    0.00306796000000009×0.00107278666870447×40589641000000     		ar = 327561759.643638m²