Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1214 / 1983
↖ ↑ ↗
← N 67.625954°
W126.650391°		 ← 1 860.08 m → N 67.625954°
W126.606445°		 →
↑
1 860.71 m
↓
↑
1 860.71 m
↓
N 67.609220°
W126.650391°		 ← 1 861.40 m →
3 462 297 m²		 N 67.609220°
W126.606445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14825439453125 y=0.24212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14825439453125 × 213)
    floor (0.14825439453125 × 8192)
    floor (1214.5)     		tx = 1214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24212646484375 × 213)
    floor (0.24212646484375 × 8192)
    floor (1983.5)     		ty = 1983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1214 / 1983 ti = "13/1214/1983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1214/1983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1214 ÷ 213
    1214 ÷ 8192     		x = 0.148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1983 ÷ 213
    1983 ÷ 8192     		y = 0.2420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.70361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21046632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2420654296875 × 2 - 1) × π
    0.515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62065070235486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21046632} λ = -2.21046632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62065070235486))-π/2
    2×atan(5.05637944433771)-π/2
    2×1.37554594533073-π/2
    2.75109189066146-1.57079632675     		φ = 1.18029556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21046632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18029556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.625954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1214 KachelY 1983 -2.21046632 1.18029556 -126.650391 67.625954
    Oben rechts KachelX + 1 1215 KachelY 1983 -2.20969932 1.18029556 -126.606445 67.625954
    Unten links KachelX 1214 KachelY + 1 1984 -2.21046632 1.18000350 -126.650391 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 1215 KachelY + 1 1984 -2.20969932 1.18000350 -126.606445 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18029556-1.18000350) × R
    0.000292060000000038 × 6371000     		dl = 1860.71426000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18029556-1.18000350) × R
    0.000292060000000038 × 6371000     		dr = 1860.71426000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21046632--2.20969932) × cos(1.18029556) × R
    0.000767000000000184 × 0.380651531179853 × 6371000     		do = 1860.07540424808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21046632--2.20969932) × cos(1.18000350) × R
    0.000767000000000184 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 1861.39505348287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18029556)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380651531179853-0.380921588243505)×R²
    abs(-2.20969932--2.21046632)×0.000270057063651852×R²
    0.000767000000000184×0.000270057063651852×6371000²
    0.000767000000000184×0.000270057063651852×40589641000000     		ar = 3462296.59904603m²