Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121366 / 28213
↖ ↑ ↗
← N 71.026785°
E153.341675°		 ← 99.28 m → N 71.026785°
E153.344421°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.025892°
E153.341675°		 ← 99.29 m →
9 861 m²		 N 71.025892°
E153.344421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925952911376953 y=0.215251922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925952911376953 × 217)
    floor (0.925952911376953 × 131072)
    floor (121366.5)     		tx = 121366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215251922607422 × 217)
    floor (0.215251922607422 × 131072)
    floor (28213.5)     		ty = 28213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121366 / 28213 ti = "17/121366/28213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121366/28213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121366 ÷ 217
    121366 ÷ 131072     		x = 0.925949096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28213 ÷ 217
    28213 ÷ 131072     		y = 0.215248107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925949096679688 × 2 - 1) × π
    0.851898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.67631711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215248107910156 × 2 - 1) × π
    0.569503784179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78914890451936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67631711} λ = 2.67631711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78914890451936))-π/2
    2×atan(5.98435703911258)-π/2
    2×1.40522379148011-π/2
    2.81044758296022-1.57079632675     		φ = 1.23965126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67631711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23965126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.026785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121366 KachelY 28213 2.67631711 1.23965126 153.341675 71.026785
    Oben rechts KachelX + 1 121367 KachelY 28213 2.67636504 1.23965126 153.344421 71.026785
    Unten links KachelX 121366 KachelY + 1 28214 2.67631711 1.23963567 153.341675 71.025892
    Unten rechts KachelX + 1 121367 KachelY + 1 28214 2.67636504 1.23963567 153.344421 71.025892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23965126-1.23963567) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23965126-1.23963567) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67631711-2.67636504) × cos(1.23965126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325126097393264 × 6371000     		do = 99.2811651060455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67631711-2.67636504) × cos(1.23963567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325140840359536 × 6371000     		du = 99.2856670481548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23965126)-sin(1.23963567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325126097393264-0.325140840359536)×R²
    abs(2.67636504-2.67631711)×1.47429662728515e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47429662728515e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47429662728515e-05×40589641000000     		ar = 9861.21509746692m²