Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121363 / 28201
↖ ↑ ↗
← N 71.037498°
E153.333435°		 ← 99.23 m → N 71.037498°
E153.336182°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
N 71.036605°
E153.333435°		 ← 99.23 m →
9 850 m²		 N 71.036605°
E153.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925930023193359 y=0.215160369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925930023193359 × 217)
    floor (0.925930023193359 × 131072)
    floor (121363.5)     		tx = 121363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215160369873047 × 217)
    floor (0.215160369873047 × 131072)
    floor (28201.5)     		ty = 28201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121363 / 28201 ti = "17/121363/28201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121363/28201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121363 ÷ 217
    121363 ÷ 131072     		x = 0.925926208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28201 ÷ 217
    28201 ÷ 131072     		y = 0.215156555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925926208496094 × 2 - 1) × π
    0.851852416992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.67617330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215156555175781 × 2 - 1) × π
    0.569686889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.7897241473148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67617330} λ = 2.67617330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7897241473148))-π/2
    2×atan(5.98780048769922)-π/2
    2×1.40531727927265-π/2
    2.81063455854529-1.57079632675     		φ = 1.23983823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67617330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.333435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23983823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.037498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121363 KachelY 28201 2.67617330 1.23983823 153.333435 71.037498
    Oben rechts KachelX + 1 121364 KachelY 28201 2.67622123 1.23983823 153.336182 71.037498
    Unten links KachelX 121363 KachelY + 1 28202 2.67617330 1.23982265 153.333435 71.036605
    Unten rechts KachelX + 1 121364 KachelY + 1 28202 2.67622123 1.23982265 153.336182 71.036605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23983823-1.23982265) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dl = 99.2601799993884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23983823-1.23982265) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dr = 99.2601799993884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67617330-2.67622123) × cos(1.23983823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324949279665816 × 6371000     		do = 99.2271716858522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67617330-2.67622123) × cos(1.23982265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324964014122287 × 6371000     		du = 99.2316710293909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23983823)-sin(1.23982265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324949279665816-0.324964014122287)×R²
    abs(2.67622123-2.67617330)×1.47344564704333e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47344564704333e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47344564704333e-05×40589641000000     		ar = 9849.53022542825m²