Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121362 / 28210
↖ ↑ ↗
← N 71.029464°
E153.330689°		 ← 99.29 m → N 71.029464°
E153.333435°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
N 71.028571°
E153.330689°		 ← 99.29 m →
9 856 m²		 N 71.028571°
E153.333435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925922393798828 y=0.215229034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925922393798828 × 217)
    floor (0.925922393798828 × 131072)
    floor (121362.5)     		tx = 121362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215229034423828 × 217)
    floor (0.215229034423828 × 131072)
    floor (28210.5)     		ty = 28210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121362 / 28210 ti = "17/121362/28210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121362/28210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121362 ÷ 217
    121362 ÷ 131072     		x = 0.925918579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28210 ÷ 217
    28210 ÷ 131072     		y = 0.215225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925918579101562 × 2 - 1) × π
    0.851837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67612536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215225219726562 × 2 - 1) × π
    0.569549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78929271521822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67612536} λ = 2.67612536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78929271521822))-π/2
    2×atan(5.98521771556636)-π/2
    2×1.40524716819638-π/2
    2.81049433639276-1.57079632675     		φ = 1.23969801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67612536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23969801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.029464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121362 KachelY 28210 2.67612536 1.23969801 153.330689 71.029464
    Oben rechts KachelX + 1 121363 KachelY 28210 2.67617330 1.23969801 153.333435 71.029464
    Unten links KachelX 121362 KachelY + 1 28211 2.67612536 1.23968243 153.330689 71.028571
    Unten rechts KachelX + 1 121363 KachelY + 1 28211 2.67617330 1.23968243 153.333435 71.028571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23969801-1.23968243) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dl = 99.2601799993884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23969801-1.23968243) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dr = 99.2601799993884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67612536-2.67617330) × cos(1.23969801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32508188693405 × 6371000     		do = 99.2883758773633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67612536-2.67617330) × cos(1.23968243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325096620680466 × 6371000     		du = 99.2928759427655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23969801)-sin(1.23968243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32508188693405-0.325096620680466)×R²
    abs(2.67617330-2.67612536)×1.47337464163622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47337464163622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47337464163622e-05×40589641000000     		ar = 9855.60540028966m²