Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121362 / 28173
↖ ↑ ↗
← N 71.062472°
E153.330689°		 ← 99.12 m → N 71.062472°
E153.333435°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 71.061581°
E153.330689°		 ← 99.13 m →
9 820 m²		 N 71.061581°
E153.333435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925922393798828 y=0.214946746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925922393798828 × 217)
    floor (0.925922393798828 × 131072)
    floor (121362.5)     		tx = 121362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214946746826172 × 217)
    floor (0.214946746826172 × 131072)
    floor (28173.5)     		ty = 28173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121362 / 28173 ti = "17/121362/28173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121362/28173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121362 ÷ 217
    121362 ÷ 131072     		x = 0.925918579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28173 ÷ 217
    28173 ÷ 131072     		y = 0.214942932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925918579101562 × 2 - 1) × π
    0.851837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67612536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214942932128906 × 2 - 1) × π
    0.570114135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.79106638050416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67612536} λ = 2.67612536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79106638050416))-π/2
    2×atan(5.99584290843967)-π/2
    2×1.4055352197634-π/2
    2.81107043952681-1.57079632675     		φ = 1.24027411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67612536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24027411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.062472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121362 KachelY 28173 2.67612536 1.24027411 153.330689 71.062472
    Oben rechts KachelX + 1 121363 KachelY 28173 2.67617330 1.24027411 153.333435 71.062472
    Unten links KachelX 121362 KachelY + 1 28174 2.67612536 1.24025856 153.330689 71.061581
    Unten rechts KachelX + 1 121363 KachelY + 1 28174 2.67617330 1.24025856 153.333435 71.061581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24027411-1.24025856) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24027411-1.24025856) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67612536-2.67617330) × cos(1.24027411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324537023387939 × 6371000     		do = 99.1219605255937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67612536-2.67617330) × cos(1.24025856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324551731673756 × 6371000     		du = 99.1264528146733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24027411)-sin(1.24025856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324537023387939-0.324551731673756)×R²
    abs(2.67617330-2.67612536)×1.47082858165115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47082858165115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47082858165115e-05×40589641000000     		ar = 9820.14098705621m²