Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121360 / 28241
↖ ↑ ↗
← N 71.001765°
E153.325195°		 ← 99.43 m → N 71.001765°
E153.327942°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
N 71.000872°
E153.325195°		 ← 99.43 m →
9 882 m²		 N 71.000872°
E153.327942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925907135009766 y=0.215465545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925907135009766 × 217)
    floor (0.925907135009766 × 131072)
    floor (121360.5)     		tx = 121360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215465545654297 × 217)
    floor (0.215465545654297 × 131072)
    floor (28241.5)     		ty = 28241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121360 / 28241 ti = "17/121360/28241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121360/28241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121360 ÷ 217
    121360 ÷ 131072     		x = 0.9259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28241 ÷ 217
    28241 ÷ 131072     		y = 0.215461730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9259033203125 × 2 - 1) × π
    0.851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67602948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215461730957031 × 2 - 1) × π
    0.569076538085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.78780667132999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67602948} λ = 2.67602948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78780667132999))-π/2
    2×atan(5.97633002474536)-π/2
    2×1.40500545542647-π/2
    2.81001091085294-1.57079632675     		φ = 1.23921458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67602948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23921458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.001765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121360 KachelY 28241 2.67602948 1.23921458 153.325195 71.001765
    Oben rechts KachelX + 1 121361 KachelY 28241 2.67607742 1.23921458 153.327942 71.001765
    Unten links KachelX 121360 KachelY + 1 28242 2.67602948 1.23919898 153.325195 71.000872
    Unten rechts KachelX + 1 121361 KachelY + 1 28242 2.67607742 1.23919898 153.327942 71.000872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23921458-1.23919898) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23921458-1.23919898) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67602948-2.67607742) × cos(1.23921458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325539021850346 × 6371000     		do = 99.4279966474528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67602948-2.67607742) × cos(1.23919898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325553772056991 × 6371000     		du = 99.4325017402326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23921458)-sin(1.23919898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325539021850346-0.325553772056991)×R²
    abs(2.67607742-2.67602948)×1.47502066454863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47502066454863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47502066454863e-05×40589641000000     		ar = 9882.13383482435m²