Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12133 / 12744
↖ ↑ ↗
← S 70.199994°
E 86.594238°		 ← 827.63 m → S 70.199994°
E 86.616211°		 →
↑
827.47 m
↓
↑
827.47 m
↓
S 70.207436°
E 86.594238°		 ← 827.33 m →
684 713 m²		 S 70.207436°
E 86.616211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740570068359375 y=0.777862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740570068359375 × 214)
    floor (0.740570068359375 × 16384)
    floor (12133.5)     		tx = 12133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777862548828125 × 214)
    floor (0.777862548828125 × 16384)
    floor (12744.5)     		ty = 12744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12133 / 12744 ti = "14/12133/12744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12133/12744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12133 ÷ 214
    12133 ÷ 16384     		x = 0.74053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12744 ÷ 214
    12744 ÷ 16384     		y = 0.77783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74053955078125 × 2 - 1) × π
    0.4810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.51135457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51135457} λ = 1.51135457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74567013656396))-π/2
    2×atan(0.174527992180282)-π/2
    2×0.172787647658244-π/2
    0.345575295316487-1.57079632675     		φ = -1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51135457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.594238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12133 KachelY 12744 1.51135457 -1.22522103 86.594238 -70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 12134 KachelY 12744 1.51173807 -1.22522103 86.616211 -70.199994
    Unten links KachelX 12133 KachelY + 1 12745 1.51135457 -1.22535091 86.594238 -70.207436
    Unten rechts KachelX + 1 12134 KachelY + 1 12745 1.51173807 -1.22535091 86.616211 -70.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22522103--1.22535091) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dl = 827.46548000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22522103--1.22535091) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dr = 827.46548000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51135457-1.51173807) × cos(-1.22522103) × R
    0.000383500000000092 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 827.631318817935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51135457-1.51173807) × cos(-1.22535091) × R
    0.000383500000000092 × 0.338615814497333 × 6371000     		du = 827.332739321521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22522103)-sin(-1.22535091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338615814497333)×R²
    abs(1.51173807-1.51135457)×0.000122204446367513×R²
    0.000383500000000092×0.000122204446367513×6371000²
    0.000383500000000092×0.000122204446367513×40589641000000     		ar = 684712.81533787m²