Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12131 / 12730
↖ ↑ ↗
← S 70.095529°
E 86.550293°		 ← 831.82 m → S 70.095529°
E 86.572266°		 →
↑
831.67 m
↓
↑
831.67 m
↓
S 70.103008°
E 86.550293°		 ← 831.52 m →
691 676 m²		 S 70.103008°
E 86.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740447998046875 y=0.777008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740447998046875 × 214)
    floor (0.740447998046875 × 16384)
    floor (12131.5)     		tx = 12131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777008056640625 × 214)
    floor (0.777008056640625 × 16384)
    floor (12730.5)     		ty = 12730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12131 / 12730 ti = "14/12131/12730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12131/12730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12131 ÷ 214
    12131 ÷ 16384     		x = 0.74041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12730 ÷ 214
    12730 ÷ 16384     		y = 0.7769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74041748046875 × 2 - 1) × π
    0.4808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51058758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74030120380652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51058758} λ = 1.51058758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74030120380652))-π/2
    2×atan(0.175467541165343)-π/2
    2×0.173699278599231-π/2
    0.347398557198462-1.57079632675     		φ = -1.22339777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51058758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.550293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22339777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.095529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12131 KachelY 12730 1.51058758 -1.22339777 86.550293 -70.095529
    Oben rechts KachelX + 1 12132 KachelY 12730 1.51097108 -1.22339777 86.572266 -70.095529
    Unten links KachelX 12131 KachelY + 1 12731 1.51058758 -1.22352831 86.550293 -70.103008
    Unten rechts KachelX + 1 12132 KachelY + 1 12731 1.51097108 -1.22352831 86.572266 -70.103008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22339777--1.22352831) × R
    0.000130540000000012 × 6371000     		dl = 831.670340000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22339777--1.22352831) × R
    0.000130540000000012 × 6371000     		dr = 831.670340000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51058758-1.51097108) × cos(-1.22339777) × R
    0.000383500000000092 × 0.340452925169916 × 6371000     		do = 831.821312329964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51058758-1.51097108) × cos(-1.22352831) × R
    0.000383500000000092 × 0.340330180525131 × 6371000     		du = 831.521412978371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22339777)-sin(-1.22352831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340452925169916-0.340330180525131)×R²
    abs(1.51097108-1.51058758)×0.0001227446447849×R²
    0.000383500000000092×0.0001227446447849×6371000²
    0.000383500000000092×0.0001227446447849×40589641000000     		ar = 691676.405928649m²