Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1213 / 906
↖ ↑ ↗
← N 20.303418°
E 33.222656°		 ← 18.332 km → N 20.303418°
E 33.398438°		 →
↑
18.341 km
↓
↑
18.341 km
↓
N 20.138470°
E 33.222656°		 ← 18.351 km →
336.404 km²		 N 20.138470°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592529296875 y=0.442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592529296875 × 211)
    floor (0.592529296875 × 2048)
    floor (1213.5)     		tx = 1213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442626953125 × 211)
    floor (0.442626953125 × 2048)
    floor (906.5)     		ty = 906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1213 / 906 ti = "11/1213/906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1213/906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1213 ÷ 211
    1213 ÷ 2048     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 906 ÷ 211
    906 ÷ 2048     		y = 0.4423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362019465930664))-π/2
    2×atan(1.43622689918148)-π/2
    2×0.962578905944964-π/2
    1.92515781188993-1.57079632675     		φ = 0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1213 KachelY 906 0.57984474 0.35436149 33.222656 20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 1214 KachelY 906 0.58291270 0.35436149 33.398438 20.303418
    Unten links KachelX 1213 KachelY + 1 907 0.57984474 0.35148261 33.222656 20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 1214 KachelY + 1 907 0.58291270 0.35148261 33.398438 20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35436149-0.35148261) × R
    0.00287888000000003 × 6371000     		dl = 18341.3444800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35436149-0.35148261) × R
    0.00287888000000003 × 6371000     		dr = 18341.3444800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58291270) × cos(0.35436149) × R
    0.00306795999999998 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 18331.5473995795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58291270) × cos(0.35148261) × R
    0.00306795999999998 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 18350.9968017783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35436149)-sin(0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.938863296882702)×R²
    abs(0.58291270-0.57984474)×0.000995059291222344×R²
    0.00306795999999998×0.000995059291222344×6371000²
    0.00306795999999998×0.000995059291222344×40589641000000     		ar = 336403822.141504m²