Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1213 / 1984
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
W126.694336°		 ← 1 861.37 m → N 67.609220°
W126.650391°		 →
↑
1 861.99 m
↓
↑
1 861.99 m
↓
N 67.592475°
W126.694336°		 ← 1 862.69 m →
3 467 080 m²		 N 67.592475°
W126.650391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14813232421875 y=0.24224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14813232421875 × 213)
    floor (0.14813232421875 × 8192)
    floor (1213.5)     		tx = 1213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24224853515625 × 213)
    floor (0.24224853515625 × 8192)
    floor (1984.5)     		ty = 1984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1213 / 1984 ti = "13/1213/1984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1213/1984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1213 ÷ 213
    1213 ÷ 8192     		x = 0.1480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1984 ÷ 213
    1984 ÷ 8192     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21123331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21123331} λ = -2.21123331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21123331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.694336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1213 KachelY 1984 -2.21123331 1.18000350 -126.694336 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 1214 KachelY 1984 -2.21046632 1.18000350 -126.650391 67.609220
    Unten links KachelX 1213 KachelY + 1 1985 -2.21123331 1.17971124 -126.694336 67.592475
    Unten rechts KachelX + 1 1214 KachelY + 1 1985 -2.21046632 1.17971124 -126.650391 67.592475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17971124) × R
    0.000292259999999933 × 6371000     		dl = 1861.98845999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17971124) × R
    0.000292259999999933 × 6371000     		dr = 1861.98845999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21123331--2.21046632) × cos(1.18000350) × R
    0.000766989999999801 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 1861.37078496755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21123331--2.21046632) × cos(1.17971124) × R
    0.000766989999999801 × 0.381191797714113 × 6371000     		du = 1862.69116173257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17971124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.381191797714113)×R²
    abs(-2.21046632--2.21123331)×0.000270209470608074×R²
    0.000766989999999801×0.000270209470608074×6371000²
    0.000766989999999801×0.000270209470608074×40589641000000     		ar = 3467080.20921649m²