Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121285 / 28209
↖ ↑ ↗
← N 71.030357°
E153.119202°		 ← 99.26 m → N 71.030357°
E153.121948°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
N 71.029464°
E153.119202°		 ← 99.27 m →
9 853 m²		 N 71.029464°
E153.121948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925334930419922 y=0.215221405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925334930419922 × 217)
    floor (0.925334930419922 × 131072)
    floor (121285.5)     		tx = 121285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215221405029297 × 217)
    floor (0.215221405029297 × 131072)
    floor (28209.5)     		ty = 28209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121285 / 28209 ti = "17/121285/28209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121285/28209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121285 ÷ 217
    121285 ÷ 131072     		x = 0.925331115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28209 ÷ 217
    28209 ÷ 131072     		y = 0.215217590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925331115722656 × 2 - 1) × π
    0.850662231445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.67243422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215217590332031 × 2 - 1) × π
    0.569564819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.78934065211784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67243422} λ = 2.67243422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78934065211784))-π/2
    2×atan(5.98550463522416)-π/2
    2×1.40525495972867-π/2
    2.81050991945734-1.57079632675     		φ = 1.23971359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67243422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.119202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23971359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.030357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121285 KachelY 28209 2.67243422 1.23971359 153.119202 71.030357
    Oben rechts KachelX + 1 121286 KachelY 28209 2.67248215 1.23971359 153.121948 71.030357
    Unten links KachelX 121285 KachelY + 1 28210 2.67243422 1.23969801 153.119202 71.029464
    Unten rechts KachelX + 1 121286 KachelY + 1 28210 2.67248215 1.23969801 153.121948 71.029464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23971359-1.23969801) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dl = 99.2601800008031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23971359-1.23969801) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dr = 99.2601800008031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67243422-2.67248215) × cos(1.23971359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325067153108724 × 6371000     		do = 99.2631657596615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67243422-2.67248215) × cos(1.23969801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32508188693405 × 6371000     		du = 99.2676649104726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23971359)-sin(1.23969801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325067153108724-0.32508188693405)×R²
    abs(2.67248215-2.67243422)×1.47338253257412e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47338253257412e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47338253257412e-05×40589641000000     		ar = 9853.10299409064m²