Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121252 / 27812
↖ ↑ ↗
← N 71.381635°
E153.028564°		 ← 97.51 m → N 71.381635°
E153.031311°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 71.380758°
E153.028564°		 ← 97.52 m →
9 505 m²		 N 71.380758°
E153.031311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925083160400391 y=0.212192535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925083160400391 × 217)
    floor (0.925083160400391 × 131072)
    floor (121252.5)     		tx = 121252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212192535400391 × 217)
    floor (0.212192535400391 × 131072)
    floor (27812.5)     		ty = 27812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121252 / 27812 ti = "17/121252/27812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121252/27812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121252 ÷ 217
    121252 ÷ 131072     		x = 0.925079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27812 ÷ 217
    27812 ÷ 131072     		y = 0.212188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925079345703125 × 2 - 1) × π
    0.85015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67085230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212188720703125 × 2 - 1) × π
    0.57562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.808371601267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67085230} λ = 2.67085230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.808371601267))-π/2
    2×atan(6.10050528446126)-π/2
    2×1.40832044039123-π/2
    2.81664088078247-1.57079632675     		φ = 1.24584455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67085230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.028564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24584455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.381635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121252 KachelY 27812 2.67085230 1.24584455 153.028564 71.381635
    Oben rechts KachelX + 1 121253 KachelY 27812 2.67090024 1.24584455 153.031311 71.381635
    Unten links KachelX 121252 KachelY + 1 27813 2.67085230 1.24582925 153.028564 71.380758
    Unten rechts KachelX + 1 121253 KachelY + 1 27813 2.67090024 1.24582925 153.031311 71.380758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24584455-1.24582925) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dl = 97.4762999989127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24584455-1.24582925) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dr = 97.4762999989127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67085230-2.67090024) × cos(1.24584455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3192630867304 × 6371000     		do = 97.5111645192526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67085230-2.67090024) × cos(1.24582925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319277585984719 × 6371000     		du = 97.5155929647325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24584455)-sin(1.24582925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3192630867304-0.319277585984719)×R²
    abs(2.67090024-2.67085230)×1.44992543192335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44992543192335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44992543192335e-05×40589641000000     		ar = 9505.24336043639m²