Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121250 / 27814
↖ ↑ ↗
← N 71.379881°
E153.023072°		 ← 97.50 m → N 71.379881°
E153.025818°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 71.379004°
E153.023072°		 ← 97.50 m →
9 504 m²		 N 71.379004°
E153.025818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925067901611328 y=0.212207794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925067901611328 × 217)
    floor (0.925067901611328 × 131072)
    floor (121250.5)     		tx = 121250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212207794189453 × 217)
    floor (0.212207794189453 × 131072)
    floor (27814.5)     		ty = 27814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121250 / 27814 ti = "17/121250/27814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121250/27814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121250 ÷ 217
    121250 ÷ 131072     		x = 0.925064086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27814 ÷ 217
    27814 ÷ 131072     		y = 0.212203979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925064086914062 × 2 - 1) × π
    0.850128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67075643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212203979492188 × 2 - 1) × π
    0.575592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80827572746776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67075643} λ = 2.67075643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80827572746776))-π/2
    2×atan(6.09992043387872)-π/2
    2×1.4083051352136-π/2
    2.8166102704272-1.57079632675     		φ = 1.24581394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67075643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24581394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.379881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121250 KachelY 27814 2.67075643 1.24581394 153.023072 71.379881
    Oben rechts KachelX + 1 121251 KachelY 27814 2.67080436 1.24581394 153.025818 71.379881
    Unten links KachelX 121250 KachelY + 1 27815 2.67075643 1.24579864 153.023072 71.379004
    Unten rechts KachelX + 1 121251 KachelY + 1 27815 2.67080436 1.24579864 153.025818 71.379004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24581394-1.24579864) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dl = 97.4762999989127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24581394-1.24579864) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dr = 97.4762999989127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67075643-2.67080436) × cos(1.24581394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319292094640862 × 6371000     		do = 97.4996821825455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67075643-2.67080436) × cos(1.24579864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.31930659374565 × 6371000     		du = 97.5041096586167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24581394)-sin(1.24579864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319292094640862-0.31930659374565)×R²
    abs(2.67080436-2.67075643)×1.44991047876242e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44991047876242e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44991047876242e-05×40589641000000     		ar = 9504.12405745967m²