Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121218 / 119682
↖ ↑ ↗
← S 81.467076°
E152.935180°		 ← 45.32 m → S 81.467076°
E152.937927°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
S 81.467483°
E152.935180°		 ← 45.32 m →
2 053 m²		 S 81.467483°
E152.937927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.924823760986328 y=0.913105010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.924823760986328 × 217)
    floor (0.924823760986328 × 131072)
    floor (121218.5)     		tx = 121218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913105010986328 × 217)
    floor (0.913105010986328 × 131072)
    floor (119682.5)     		ty = 119682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121218 / 119682 ti = "17/121218/119682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121218/119682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121218 ÷ 217
    121218 ÷ 131072     		x = 0.924819946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119682 ÷ 217
    119682 ÷ 131072     		y = 0.913101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.924819946289062 × 2 - 1) × π
    0.849639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.66922244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.826202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59559136682756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66922244} λ = 2.66922244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59559136682756))-π/2
    2×atan(0.0746017460293194)-π/2
    2×0.0744638096457437-π/2
    0.148927619291487-1.57079632675     		φ = -1.42186871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66922244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.935180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42186871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.467076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121218 KachelY 119682 2.66922244 -1.42186871 152.935180 -81.467076
    Oben rechts KachelX + 1 121219 KachelY 119682 2.66927038 -1.42186871 152.937927 -81.467076
    Unten links KachelX 121218 KachelY + 1 119683 2.66922244 -1.42187582 152.935180 -81.467483
    Unten rechts KachelX + 1 121219 KachelY + 1 119683 2.66927038 -1.42187582 152.937927 -81.467483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42186871--1.42187582) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dl = 45.2978099991452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42186871--1.42187582) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dr = 45.2978099991452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66922244-2.66927038) × cos(-1.42186871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148377705251815 × 6371000     		do = 45.3183704260078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66922244-2.66927038) × cos(-1.42187582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148370673950331 × 6371000     		du = 45.3162228855487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42186871)-sin(-1.42187582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148377705251815-0.148370673950331)×R²
    abs(2.66927038-2.66922244)×7.03130148441145e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.03130148441145e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.03130148441145e-06×40589641000000     		ar = 2052.7742936524m²