Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121208 / 119672
↖ ↑ ↗
← S 81.463000°
E152.907715°		 ← 45.33 m → S 81.463000°
E152.910461°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.463407°
E152.907715°		 ← 45.33 m →
2 056 m²		 S 81.463407°
E152.910461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.924747467041016 y=0.913028717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.924747467041016 × 217)
    floor (0.924747467041016 × 131072)
    floor (121208.5)     		tx = 121208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913028717041016 × 217)
    floor (0.913028717041016 × 131072)
    floor (119672.5)     		ty = 119672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121208 / 119672 ti = "17/121208/119672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121208/119672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121208 ÷ 217
    121208 ÷ 131072     		x = 0.92474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119672 ÷ 217
    119672 ÷ 131072     		y = 0.91302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92474365234375 × 2 - 1) × π
    0.8494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.66874308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.8260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59511199783136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66874308} λ = 2.66874308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59511199783136))-π/2
    2×atan(0.0746375163663386)-π/2
    2×0.0744993819131952-π/2
    0.14899876382639-1.57079632675     		φ = -1.42179756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66874308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42179756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.463000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121208 KachelY 119672 2.66874308 -1.42179756 152.907715 -81.463000
    Oben rechts KachelX + 1 121209 KachelY 119672 2.66879101 -1.42179756 152.910461 -81.463000
    Unten links KachelX 121208 KachelY + 1 119673 2.66874308 -1.42180468 152.907715 -81.463407
    Unten rechts KachelX + 1 121209 KachelY + 1 119673 2.66879101 -1.42180468 152.910461 -81.463407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42179756--1.42180468) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dl = 45.3615200001727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42179756--1.42180468) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dr = 45.3615200001727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66874308-2.66879101) × cos(-1.42179756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148448067300068 × 6371000     		do = 45.3304031803531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66874308-2.66879101) × cos(-1.42180468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148441026184448 × 6371000     		du = 45.3282530909938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42179756)-sin(-1.42180468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148448067300068-0.148441026184448)×R²
    abs(2.66879101-2.66874308)×7.04111562035981e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.04111562035981e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.04111562035981e-06×40589641000000     		ar = 2056.20722485502m²