Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1212 / 924
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 33.046875°		 ← 18.661 km → N 17.308688°
E 33.222656°		 →
↑
18.669 km
↓
↑
18.669 km
↓
N 17.140790°
E 33.046875°		 ← 18.678 km →
348.544 km²		 N 17.140790°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592041015625 y=0.451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592041015625 × 211)
    floor (0.592041015625 × 2048)
    floor (1212.5)     		tx = 1212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451416015625 × 211)
    floor (0.451416015625 × 2048)
    floor (924.5)     		ty = 924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1212 / 924 ti = "11/1212/924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1212/924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1212 ÷ 211
    1212 ÷ 2048     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 924 ÷ 211
    924 ÷ 2048     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1212 KachelY 924 0.57677678 0.30209359 33.046875 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 1213 KachelY 924 0.57984474 0.30209359 33.222656 17.308688
    Unten links KachelX 1212 KachelY + 1 925 0.57677678 0.29916323 33.046875 17.140790
    Unten rechts KachelX + 1 1213 KachelY + 1 925 0.57984474 0.29916323 33.222656 17.140790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.29916323) × R
    0.00293036000000002 × 6371000     		dl = 18669.3235600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.29916323) × R
    0.00293036000000002 × 6371000     		dr = 18669.3235600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.57984474) × cos(0.30209359) × R
    0.00306795999999998 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 18660.8474036927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.57984474) × cos(0.29916323) × R
    0.00306795999999998 × 0.955583437084419 × 6371000     		du = 18677.8082133925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.29916323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.955583437084419)×R²
    abs(0.57984474-0.57677678)×0.000867739332341189×R²
    0.00306795999999998×0.000867739332341189×6371000²
    0.00306795999999998×0.000867739332341189×40589641000000     		ar = 348543970.917959m²