Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1212 / 1308
↖ ↑ ↗
← S 44.590467°
E 33.046875°		 ← 13.920 km → S 44.590467°
E 33.222656°		 →
↑
13.905 km
↓
↑
13.905 km
↓
S 44.715514°
E 33.046875°		 ← 13.890 km →
193.336 km²		 S 44.715514°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592041015625 y=0.638916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592041015625 × 211)
    floor (0.592041015625 × 2048)
    floor (1212.5)     		tx = 1212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638916015625 × 211)
    floor (0.638916015625 × 2048)
    floor (1308.5)     		ty = 1308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1212 / 1308 ti = "11/1212/1308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1212/1308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1212 ÷ 211
    1212 ÷ 2048     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1308 ÷ 211
    1308 ÷ 2048     		y = 0.638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638671875 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871301087494141))-π/2
    2×atan(0.418406811079117)-π/2
    2×0.396272929748159-π/2
    0.792545859496317-1.57079632675     		φ = -0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1212 KachelY 1308 0.57677678 -0.77825047 33.046875 -44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 1213 KachelY 1308 0.57984474 -0.77825047 33.222656 -44.590467
    Unten links KachelX 1212 KachelY + 1 1309 0.57677678 -0.78043294 33.046875 -44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 1213 KachelY + 1 1309 0.57984474 -0.78043294 33.222656 -44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77825047--0.78043294) × R
    0.00218246999999994 × 6371000     		dl = 13904.5163699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77825047--0.78043294) × R
    0.00218246999999994 × 6371000     		dr = 13904.5163699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.57984474) × cos(-0.77825047) × R
    0.00306795999999998 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 13919.5251851416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.57984474) × cos(-0.78043294) × R
    0.00306795999999998 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 13889.5443162437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77825047)-sin(-0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.710608993604276)×R²
    abs(0.57984474-0.57677678)×0.00153386422116208×R²
    0.00306795999999998×0.00153386422116208×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153386422116208×40589641000000     		ar = 193335907.799307m²