Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12114 / 12686
↖ ↑ ↗
← S 69.763757°
E 86.176758°		 ← 845.11 m → S 69.763757°
E 86.198731°		 →
↑
844.92 m
↓
↑
844.92 m
↓
S 69.771356°
E 86.176758°		 ← 844.81 m →
713 924 m²		 S 69.771356°
E 86.198731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739410400390625 y=0.774322509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739410400390625 × 214)
    floor (0.739410400390625 × 16384)
    floor (12114.5)     		tx = 12114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774322509765625 × 214)
    floor (0.774322509765625 × 16384)
    floor (12686.5)     		ty = 12686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12114 / 12686 ti = "14/12114/12686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12114/12686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12114 ÷ 214
    12114 ÷ 16384     		x = 0.7393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12686 ÷ 214
    12686 ÷ 16384     		y = 0.7742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7393798828125 × 2 - 1) × π
    0.478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50406816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72342741514026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50406816} λ = 1.50406816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72342741514026))-π/2
    2×atan(0.178453464445103)-π/2
    2×0.176594534979002-π/2
    0.353189069958005-1.57079632675     		φ = -1.21760726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50406816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21760726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.763757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12114 KachelY 12686 1.50406816 -1.21760726 86.176758 -69.763757
    Oben rechts KachelX + 1 12115 KachelY 12686 1.50445166 -1.21760726 86.198731 -69.763757
    Unten links KachelX 12114 KachelY + 1 12687 1.50406816 -1.21773988 86.176758 -69.771356
    Unten rechts KachelX + 1 12115 KachelY + 1 12687 1.50445166 -1.21773988 86.198731 -69.771356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21760726--1.21773988) × R
    0.000132620000000028 × 6371000     		dl = 844.922020000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21760726--1.21773988) × R
    0.000132620000000028 × 6371000     		dr = 844.922020000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50406816-1.50445166) × cos(-1.21760726) × R
    0.00038349999999987 × 0.345891781045125 × 6371000     		do = 845.109951953974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50406816-1.50445166) × cos(-1.21773988) × R
    0.00038349999999987 × 0.345767344050933 × 6371000     		du = 844.80591772146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21760726)-sin(-1.21773988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345891781045125-0.345767344050933)×R²
    abs(1.50445166-1.50406816)×0.000124436994192012×R²
    0.00038349999999987×0.000124436994192012×6371000²
    0.00038349999999987×0.000124436994192012×40589641000000     		ar = 713923.566165408m²