Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12113 / 12749
↖ ↑ ↗
← S 70.237176°
E 86.154785°		 ← 826.12 m → S 70.237176°
E 86.176758°		 →
↑
825.94 m
↓
↑
825.94 m
↓
S 70.244603°
E 86.154785°		 ← 825.82 m →
682 198 m²		 S 70.244603°
E 86.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739349365234375 y=0.778167724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739349365234375 × 214)
    floor (0.739349365234375 × 16384)
    floor (12113.5)     		tx = 12113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778167724609375 × 214)
    floor (0.778167724609375 × 16384)
    floor (12749.5)     		ty = 12749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12113 / 12749 ti = "14/12113/12749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12113/12749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12113 ÷ 214
    12113 ÷ 16384     		x = 0.73931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12749 ÷ 214
    12749 ÷ 16384     		y = 0.77813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73931884765625 × 2 - 1) × π
    0.4786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50368467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.5562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74758761254877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50368467} λ = 1.50368467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74758761254877))-π/2
    2×atan(0.174193659586397)-π/2
    2×0.172463179451333-π/2
    0.344926358902666-1.57079632675     		φ = -1.22586997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50368467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22586997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.237176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12113 KachelY 12749 1.50368467 -1.22586997 86.154785 -70.237176
    Oben rechts KachelX + 1 12114 KachelY 12749 1.50406816 -1.22586997 86.176758 -70.237176
    Unten links KachelX 12113 KachelY + 1 12750 1.50368467 -1.22599961 86.154785 -70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 12114 KachelY + 1 12750 1.50406816 -1.22599961 86.176758 -70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22586997--1.22599961) × R
    0.000129639999999931 × 6371000     		dl = 825.93643999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22586997--1.22599961) × R
    0.000129639999999931 × 6371000     		dr = 825.93643999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50368467-1.50406816) × cos(-1.22586997) × R
    0.000383490000000153 × 0.338127372518205 × 6371000     		do = 826.117797440648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50368467-1.50406816) × cos(-1.22599961) × R
    0.000383490000000153 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 825.819707911001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22586997)-sin(-1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338127372518205-0.338005365427029)×R²
    abs(1.50406816-1.50368467)×0.000122007091176324×R²
    0.000383490000000153×0.000122007091176324×6371000²
    0.000383490000000153×0.000122007091176324×40589641000000     		ar = 682197.692091264m²