Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12112 / 14051
↖ ↑ ↗
← N 24.816653°
W 46.933594°		 ← 1 108.83 m → N 24.816653°
W 46.922607°		 →
↑
1 108.81 m
↓
↑
1 108.81 m
↓
N 24.806682°
W 46.933594°		 ← 1 108.92 m →
1 229 527 m²		 N 24.806682°
W 46.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369644165039062 y=0.428817749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369644165039062 × 215)
    floor (0.369644165039062 × 32768)
    floor (12112.5)     		tx = 12112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428817749023438 × 215)
    floor (0.428817749023438 × 32768)
    floor (14051.5)     		ty = 14051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12112 / 14051 ti = "15/12112/14051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12112/14051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12112 ÷ 215
    12112 ÷ 32768     		x = 0.36962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14051 ÷ 215
    14051 ÷ 32768     		y = 0.428802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    0.14239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447347147254364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81914574} λ = -0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447347147254364))-π/2
    2×atan(1.56415719792473)-π/2
    2×1.00196432033523-π/2
    2.00392864067045-1.57079632675     		φ = 0.43313231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43313231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.816653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12112 KachelY 14051 -0.81914574 0.43313231 -46.933594 24.816653
    Oben rechts KachelX + 1 12113 KachelY 14051 -0.81895399 0.43313231 -46.922607 24.816653
    Unten links KachelX 12112 KachelY + 1 14052 -0.81914574 0.43295827 -46.933594 24.806682
    Unten rechts KachelX + 1 12113 KachelY + 1 14052 -0.81895399 0.43295827 -46.922607 24.806682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43313231-0.43295827) × R
    0.000174040000000042 × 6371000     		dl = 1108.80884000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43313231-0.43295827) × R
    0.000174040000000042 × 6371000     		dr = 1108.80884000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81914574--0.81895399) × cos(0.43313231) × R
    0.000191749999999935 × 0.907655524132805 × 6371000     		do = 1108.82761375958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81914574--0.81895399) × cos(0.43295827) × R
    0.000191749999999935 × 0.907728557743918 × 6371000     		du = 1108.91683448549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43313231)-sin(0.43295827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907655524132805-0.907728557743918)×R²
    abs(-0.81895399--0.81914574)×7.30336111134378e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30336111134378e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30336111134378e-05×40589641000000     		ar = 1229527.3276415m²