Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12112 / 12745
↖ ↑ ↗
← S 70.207436°
E 86.132812°		 ← 827.33 m → S 70.207436°
E 86.154785°		 →
↑
827.21 m
↓
↑
827.21 m
↓
S 70.214875°
E 86.132812°		 ← 827.03 m →
684 255 m²		 S 70.214875°
E 86.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739288330078125 y=0.777923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739288330078125 × 214)
    floor (0.739288330078125 × 16384)
    floor (12112.5)     		tx = 12112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777923583984375 × 214)
    floor (0.777923583984375 × 16384)
    floor (12745.5)     		ty = 12745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12112 / 12745 ti = "14/12112/12745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12112/12745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12112 ÷ 214
    12112 ÷ 16384     		x = 0.7392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12745 ÷ 214
    12745 ÷ 16384     		y = 0.77789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50330117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50330117} λ = 1.50330117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74605363176093))-π/2
    2×atan(0.174461074365696)-π/2
    2×0.172722707173769-π/2
    0.345445414347538-1.57079632675     		φ = -1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50330117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.132812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12112 KachelY 12745 1.50330117 -1.22535091 86.132812 -70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 12113 KachelY 12745 1.50368467 -1.22535091 86.154785 -70.207436
    Unten links KachelX 12112 KachelY + 1 12746 1.50330117 -1.22548075 86.132812 -70.214875
    Unten rechts KachelX + 1 12113 KachelY + 1 12746 1.50368467 -1.22548075 86.154785 -70.214875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22535091--1.22548075) × R
    0.000129840000000048 × 6371000     		dl = 827.210640000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22535091--1.22548075) × R
    0.000129840000000048 × 6371000     		dr = 827.210640000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50330117-1.50368467) × cos(-1.22535091) × R
    0.00038349999999987 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 827.332739321042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50330117-1.50368467) × cos(-1.22548075) × R
    0.00038349999999987 × 0.338493641977666 × 6371000     		du = 827.034237830447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22535091)-sin(-1.22548075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.338493641977666)×R²
    abs(1.50368467-1.50330117)×0.000122172519667452×R²
    0.00038349999999987×0.000122172519667452×6371000²
    0.00038349999999987×0.000122172519667452×40589641000000     		ar = 684254.983945223m²