Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121089 / 27905
↖ ↑ ↗
← N 71.299913°
E152.580871°		 ← 97.92 m → N 71.299913°
E152.583618°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
N 71.299032°
E152.580871°		 ← 97.93 m →
9 589 m²		 N 71.299032°
E152.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.923839569091797 y=0.212902069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.923839569091797 × 217)
    floor (0.923839569091797 × 131072)
    floor (121089.5)     		tx = 121089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212902069091797 × 217)
    floor (0.212902069091797 × 131072)
    floor (27905.5)     		ty = 27905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121089 / 27905 ti = "17/121089/27905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121089/27905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121089 ÷ 217
    121089 ÷ 131072     		x = 0.923835754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27905 ÷ 217
    27905 ÷ 131072     		y = 0.212898254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.923835754394531 × 2 - 1) × π
    0.847671508789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.66303858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212898254394531 × 2 - 1) × π
    0.574203491210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.80391346960233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66303858} λ = 2.66303858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80391346960233))-π/2
    2×atan(6.07336896227512)-π/2
    2×1.40760727676923-π/2
    2.81521455353846-1.57079632675     		φ = 1.24441823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66303858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.580871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24441823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.299913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121089 KachelY 27905 2.66303858 1.24441823 152.580871 71.299913
    Oben rechts KachelX + 1 121090 KachelY 27905 2.66308652 1.24441823 152.583618 71.299913
    Unten links KachelX 121089 KachelY + 1 27906 2.66303858 1.24440286 152.580871 71.299032
    Unten rechts KachelX + 1 121090 KachelY + 1 27906 2.66308652 1.24440286 152.583618 71.299032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24441823-1.24440286) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24441823-1.24440286) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66303858-2.66308652) × cos(1.24441823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320614436664671 × 6371000     		do = 97.9239015729261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66303858-2.66308652) × cos(1.24440286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320628995241246 × 6371000     		du = 97.9283481369497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24441823)-sin(1.24440286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320614436664671-0.320628995241246)×R²
    abs(2.66308652-2.66303858)×1.45585765745637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45585765745637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45585765745637e-05×40589641000000     		ar = 9589.14843815435m²