Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 121082 / 27894
↖ ↑ ↗
← N 71.309597°
E152.561646°		 ← 97.85 m → N 71.309597°
E152.564392°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
N 71.308716°
E152.561646°		 ← 97.86 m →
9 582 m²		 N 71.308716°
E152.564392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.923786163330078 y=0.212818145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.923786163330078 × 217)
    floor (0.923786163330078 × 131072)
    floor (121082.5)     		tx = 121082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212818145751953 × 217)
    floor (0.212818145751953 × 131072)
    floor (27894.5)     		ty = 27894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121082 / 27894 ti = "17/121082/27894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121082/27894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121082 ÷ 217
    121082 ÷ 131072     		x = 0.923782348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27894 ÷ 217
    27894 ÷ 131072     		y = 0.212814331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.923782348632812 × 2 - 1) × π
    0.847564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.66270303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212814331054688 × 2 - 1) × π
    0.574371337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80444077549815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66270303} λ = 2.66270303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80444077549815))-π/2
    2×atan(6.07657233003955)-π/2
    2×1.40769178660422-π/2
    2.81538357320844-1.57079632675     		φ = 1.24458725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66270303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24458725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.309597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121082 KachelY 27894 2.66270303 1.24458725 152.561646 71.309597
    Oben rechts KachelX + 1 121083 KachelY 27894 2.66275096 1.24458725 152.564392 71.309597
    Unten links KachelX 121082 KachelY + 1 27895 2.66270303 1.24457188 152.561646 71.308716
    Unten rechts KachelX + 1 121083 KachelY + 1 27895 2.66275096 1.24457188 152.564392 71.308716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24458725-1.24457188) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24458725-1.24457188) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66270303-2.66275096) × cos(1.24458725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320454334687401 × 6371000     		do = 97.8545861625041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66270303-2.66275096) × cos(1.24457188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320468894096691 × 6371000     		du = 97.8590320532804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24458725)-sin(1.24457188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320454334687401-0.320468894096691)×R²
    abs(2.66275096-2.66270303)×1.45594092897383e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45594092897383e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45594092897383e-05×40589641000000     		ar = 9582.36088297919m²