Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 121078 / 27896
↖ ↑ ↗
← N 71.307836°
E152.550659°		 ← 97.88 m → N 71.307836°
E152.553406°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
N 71.306956°
E152.550659°		 ← 97.89 m →
9 579 m²		 N 71.306956°
E152.553406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 121078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.923755645751953 y=0.212833404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.923755645751953 × 217)
    floor (0.923755645751953 × 131072)
    floor (121078.5)     		tx = 121078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212833404541016 × 217)
    floor (0.212833404541016 × 131072)
    floor (27896.5)     		ty = 27896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 121078 / 27896 ti = "17/121078/27896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/121078/27896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 121078 ÷ 217
    121078 ÷ 131072     		x = 0.923751831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27896 ÷ 217
    27896 ÷ 131072     		y = 0.21282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.923751831054688 × 2 - 1) × π
    0.847503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.66251128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21282958984375 × 2 - 1) × π
    0.5743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80434490169891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66251128} λ = 2.66251128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80434490169891))-π/2
    2×atan(6.0759897738903)-π/2
    2×1.40767642431921-π/2
    2.81535284863842-1.57079632675     		φ = 1.24455652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66251128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24455652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.307836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 121078 KachelY 27896 2.66251128 1.24455652 152.550659 71.307836
    Oben rechts KachelX + 1 121079 KachelY 27896 2.66255922 1.24455652 152.553406 71.307836
    Unten links KachelX 121078 KachelY + 1 27897 2.66251128 1.24454116 152.550659 71.306956
    Unten rechts KachelX + 1 121079 KachelY + 1 27897 2.66255922 1.24454116 152.553406 71.306956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24455652-1.24454116) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24455652-1.24454116) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66251128-2.66255922) × cos(1.24455652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320483443957733 × 6371000     		do = 97.8838930284749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66251128-2.66255922) × cos(1.24454116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320497993743164 × 6371000     		du = 97.8883369074569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24455652)-sin(1.24454116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320483443957733-0.320497993743164)×R²
    abs(2.66255922-2.66251128)×1.45497854305288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45497854305288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45497854305288e-05×40589641000000     		ar = 9578.99425502949m²