Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12107 / 14021
↖ ↑ ↗
← N 25.115446°
W 46.988525°		 ← 1 106.14 m → N 25.115446°
W 46.977539°		 →
↑
1 106.20 m
↓
↑
1 106.20 m
↓
N 25.105497°
W 46.988525°		 ← 1 106.23 m →
1 223 657 m²		 N 25.105497°
W 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369491577148438 y=0.427902221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369491577148438 × 215)
    floor (0.369491577148438 × 32768)
    floor (12107.5)     		tx = 12107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427902221679688 × 215)
    floor (0.427902221679688 × 32768)
    floor (14021.5)     		ty = 14021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12107 / 14021 ti = "15/12107/14021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12107/14021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12107 ÷ 215
    12107 ÷ 32768     		x = 0.369476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14021 ÷ 215
    14021 ÷ 32768     		y = 0.427886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.26104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82010448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427886962890625 × 2 - 1) × π
    0.14422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453099575208771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82010448} λ = -0.82010448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453099575208771))-π/2
    2×atan(1.57318082852465)-π/2
    2×1.00457177103338-π/2
    2.00914354206676-1.57079632675     		φ = 0.43834722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82010448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.988525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43834722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.115446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12107 KachelY 14021 -0.82010448 0.43834722 -46.988525 25.115446
    Oben rechts KachelX + 1 12108 KachelY 14021 -0.81991273 0.43834722 -46.977539 25.115446
    Unten links KachelX 12107 KachelY + 1 14022 -0.82010448 0.43817359 -46.988525 25.105497
    Unten rechts KachelX + 1 12108 KachelY + 1 14022 -0.81991273 0.43817359 -46.977539 25.105497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43834722-0.43817359) × R
    0.00017362999999998 × 6371000     		dl = 1106.19672999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43834722-0.43817359) × R
    0.00017362999999998 × 6371000     		dr = 1106.19672999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82010448--0.81991273) × cos(0.43834722) × R
    0.000191750000000046 × 0.905454411382013 × 6371000     		do = 1106.13864803018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82010448--0.81991273) × cos(0.43817359) × R
    0.000191750000000046 × 0.905528093862963 × 6371000     		du = 1106.22866144095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43834722)-sin(0.43817359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905454411382013-0.905528093862963)×R²
    abs(-0.81991273--0.82010448)×7.36824809501879e-05×R²
    0.000191750000000046×7.36824809501879e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.36824809501879e-05×40589641000000     		ar = 1223656.74472175m²