Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12105 / 14029
↖ ↑ ↗
← N 25.035838°
W 47.010498°		 ← 1 106.80 m → N 25.035838°
W 46.999512°		 →
↑
1 106.83 m
↓
↑
1 106.83 m
↓
N 25.025884°
W 47.010498°		 ← 1 106.89 m →
1 225 094 m²		 N 25.025884°
W 46.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369430541992188 y=0.428146362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369430541992188 × 215)
    floor (0.369430541992188 × 32768)
    floor (12105.5)     		tx = 12105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428146362304688 × 215)
    floor (0.428146362304688 × 32768)
    floor (14029.5)     		ty = 14029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12105 / 14029 ti = "15/12105/14029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12105/14029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12105 ÷ 215
    12105 ÷ 32768     		x = 0.369415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14029 ÷ 215
    14029 ÷ 32768     		y = 0.428131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.26116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82048797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428131103515625 × 2 - 1) × π
    0.14373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.451565594420929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82048797} λ = -0.82048797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451565594420929))-π/2
    2×atan(1.57076944933542)-π/2
    2×1.00387707028839-π/2
    2.00775414057677-1.57079632675     		φ = 0.43695781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82048797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43695781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.035838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12105 KachelY 14029 -0.82048797 0.43695781 -47.010498 25.035838
    Oben rechts KachelX + 1 12106 KachelY 14029 -0.82029623 0.43695781 -46.999512 25.035838
    Unten links KachelX 12105 KachelY + 1 14030 -0.82048797 0.43678408 -47.010498 25.025884
    Unten rechts KachelX + 1 12106 KachelY + 1 14030 -0.82029623 0.43678408 -46.999512 25.025884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43695781-0.43678408) × R
    0.000173729999999983 × 6371000     		dl = 1106.83382999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43695781-0.43678408) × R
    0.000173729999999983 × 6371000     		dr = 1106.83382999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82048797--0.82029623) × cos(0.43695781) × R
    0.000191739999999996 × 0.906043263303556 × 6371000     		do = 1106.80028863338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82048797--0.82029623) × cos(0.43678408) × R
    0.000191739999999996 × 0.906116769572565 × 6371000     		du = 1106.89008209364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43695781)-sin(0.43678408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906043263303556-0.906116769572565)×R²
    abs(-0.82029623--0.82048797)×7.35062690097044e-05×R²
    0.000191739999999996×7.35062690097044e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.35062690097044e-05×40589641000000     		ar = 1225093.69881421m²