Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12101 / 14020
↖ ↑ ↗
← N 25.125393°
W 47.054443°		 ← 1 105.99 m → N 25.125393°
W 47.043457°		 →
↑
1 106.07 m
↓
↑
1 106.07 m
↓
N 25.115446°
W 47.054443°		 ← 1 106.08 m →
1 223 352 m²		 N 25.115446°
W 47.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369308471679688 y=0.427871704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369308471679688 × 215)
    floor (0.369308471679688 × 32768)
    floor (12101.5)     		tx = 12101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427871704101562 × 215)
    floor (0.427871704101562 × 32768)
    floor (14020.5)     		ty = 14020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12101 / 14020 ti = "15/12101/14020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12101/14020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12101 ÷ 215
    12101 ÷ 32768     		x = 0.369293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14020 ÷ 215
    14020 ÷ 32768     		y = 0.4278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453291322807251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82125496} λ = -0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453291322807251))-π/2
    2×atan(1.57348251109302)-π/2
    2×1.00465857685515-π/2
    2.00931715371031-1.57079632675     		φ = 0.43852083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43852083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.125393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12101 KachelY 14020 -0.82125496 0.43852083 -47.054443 25.125393
    Oben rechts KachelX + 1 12102 KachelY 14020 -0.82106322 0.43852083 -47.043457 25.125393
    Unten links KachelX 12101 KachelY + 1 14021 -0.82125496 0.43834722 -47.054443 25.115446
    Unten rechts KachelX + 1 12102 KachelY + 1 14021 -0.82106322 0.43834722 -47.043457 25.115446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43852083-0.43834722) × R
    0.000173609999999991 × 6371000     		dl = 1106.06930999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43852083-0.43834722) × R
    0.000173609999999991 × 6371000     		dr = 1106.06930999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82125496--0.82106322) × cos(0.43852083) × R
    0.000191739999999996 × 0.905380710096002 × 6371000     		do = 1105.99092984108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82125496--0.82106322) × cos(0.43834722) × R
    0.000191739999999996 × 0.905454411382013 × 6371000     		du = 1106.08096152934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43852083)-sin(0.43834722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905380710096002-0.905454411382013)×R²
    abs(-0.82106322--0.82125496)×7.37012860111408e-05×R²
    0.000191739999999996×7.37012860111408e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.37012860111408e-05×40589641000000     		ar = 1223352.41835201m²