Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1210 / 940
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 32.695312°		 ← 18.914 km → N 14.604847°
E 32.871093°		 →
↑
18.922 km
↓
↑
18.922 km
↓
N 14.434680°
E 32.695312°		 ← 18.929 km →
358.030 km²		 N 14.434680°
E 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591064453125 y=0.459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591064453125 × 211)
    floor (0.591064453125 × 2048)
    floor (1210.5)     		tx = 1210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459228515625 × 211)
    floor (0.459228515625 × 2048)
    floor (940.5)     		ty = 940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1210 / 940 ti = "11/1210/940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1210/940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1210 ÷ 211
    1210 ÷ 2048     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 940 ÷ 211
    940 ÷ 2048     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1210 KachelY 940 0.57064085 0.25490267 32.695312 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 1211 KachelY 940 0.57370881 0.25490267 32.871093 14.604847
    Unten links KachelX 1210 KachelY + 1 941 0.57064085 0.25193270 32.695312 14.434680
    Unten rechts KachelX + 1 1211 KachelY + 1 941 0.57370881 0.25193270 32.871093 14.434680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25193270) × R
    0.00296996999999999 × 6371000     		dl = 18921.6788699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25193270) × R
    0.00296996999999999 × 6371000     		dr = 18921.6788699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57370881) × cos(0.25490267) × R
    0.00306795999999998 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 18914.4005899369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57370881) × cos(0.25193270) × R
    0.00306795999999998 × 0.968432454773362 × 6371000     		du = 18928.9547682729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25193270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.968432454773362)×R²
    abs(0.57370881-0.57064085)×0.000744612622602392×R²
    0.00306795999999998×0.000744612622602392×6371000²
    0.00306795999999998×0.000744612622602392×40589641000000     		ar = 358030171.899419m²