Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12099 / 14027
↖ ↑ ↗
← N 25.055745°
W 47.076416°		 ← 1 106.68 m → N 25.055745°
W 47.065430°		 →
↑
1 106.71 m
↓
↑
1 106.71 m
↓
N 25.045792°
W 47.076416°		 ← 1 106.77 m →
1 224 818 m²		 N 25.045792°
W 47.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369247436523438 y=0.428085327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369247436523438 × 215)
    floor (0.369247436523438 × 32768)
    floor (12099.5)     		tx = 12099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428085327148438 × 215)
    floor (0.428085327148438 × 32768)
    floor (14027.5)     		ty = 14027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12099 / 14027 ti = "15/12099/14027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12099/14027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12099 ÷ 215
    12099 ÷ 32768     		x = 0.369232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14027 ÷ 215
    14027 ÷ 32768     		y = 0.428070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.26153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82163846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428070068359375 × 2 - 1) × π
    0.14385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451949089617889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82163846} λ = -0.82163846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451949089617889))-π/2
    2×atan(1.57137194739494)-π/2
    2×1.0040507878078-π/2
    2.0081015756156-1.57079632675     		φ = 0.43730525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82163846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.076416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43730525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.055745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12099 KachelY 14027 -0.82163846 0.43730525 -47.076416 25.055745
    Oben rechts KachelX + 1 12100 KachelY 14027 -0.82144671 0.43730525 -47.065430 25.055745
    Unten links KachelX 12099 KachelY + 1 14028 -0.82163846 0.43713154 -47.076416 25.045792
    Unten rechts KachelX + 1 12100 KachelY + 1 14028 -0.82144671 0.43713154 -47.065430 25.045792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43730525-0.43713154) × R
    0.000173709999999994 × 6371000     		dl = 1106.70640999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43730525-0.43713154) × R
    0.000173709999999994 × 6371000     		dr = 1106.70640999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82163846--0.82144671) × cos(0.43730525) × R
    0.000191749999999935 × 0.905896177198853 × 6371000     		do = 1106.6783264907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82163846--0.82144671) × cos(0.43713154) × R
    0.000191749999999935 × 0.905969729688246 × 6371000     		du = 1106.76818109868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43730525)-sin(0.43713154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905896177198853-0.905969729688246)×R²
    abs(-0.82144671--0.82163846)×7.35524893932249e-05×R²
    0.000191749999999935×7.35524893932249e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.35524893932249e-05×40589641000000     		ar = 1224817.72215065m²